Математика квантовой механики. Комплексные числа. Матрицы.

Шестая часть серии видео с элементарным введением в квантовую механику.

Квантовая механика исторически является первой физической теорией, которая не может обойтись без комплексных чисел. Ранее комплексные числа считались уделом лишь математиков.

Комплексное число z можно представить в виде действительной части плюс мнимая единица помноженная на мнимую часть. а и b это обычные числа. Мнимая единица обычно обозначается буквой i и по определению является квадратным корнем из -1. Или что то же самое i²=-1.

Если числа a и b считать декартовыми координатами, то комплексное число будет точкой на плоскости. Эта плоскость называется также комплексной плоскостью. Если из начала координат в эту точку провести вектор, то согласно теореме пифагора квадрат его длины будет равен сумме квадратов действительной и мнимой части. Эта длина также называется абсолютным значением или модулем комплексного числа. Комплексные числа можно складывать и умножать друг на друга согласно обычным законам арифметики с учетом того что i²=-1.

Еще одна операция на которой не делается акцент в школьной программе, но которая широко используется в квантовой механике это комплексное сопряжение. Данная операция просто меняет знак у мнимой единицы на противоположный. Геометрически она соответствует отражению комплексного числа относительно действительной оси. Комплексно-сопряженное число обозначается звездочкой.

Квадрат абсолютного значения можно также записать как произведение  комплексного числа на свое сопряжение.  В этом легко убедиться просто раскрыв скобки. В квантовой механике квадрат модуля комплексного числа несет в себе глубокий физический смысл.

Также нам понадобятся матрицы. В квантовой механике используются квадратные матрицы размером NxN, матрицы 1xN то есть строки и матрицы Nx1, то есть столбцы. Матричные элементы могут быть комплексными числами.

При умножении квадратных матриц также получается квадратная матрица. Матрицы перемножаются по правилу «строка на столбец». Так элемент 1-2i получается как 1*3 плюс (1-i) * (-2i)

Порядок перемножения матриц имеет значение. В общем случае AB не равно BA. Тогда говорят, что матрицы не коммутируют.

Деление матриц не определено. Вместо него используется понятие обратной матрицы. Обратная матрица A^-1, это такая что при умножении на исходную матрицу она дает единичную матрицу. Единичная матрица обычно обозначается буквой I и содержит единицы по главной диагонали и нули в остальных местах.

Умножая квадратную матрицу на столбец получим другой столбец. Столбец обязательно должен стоять справа от матрицы для того чтобы соблюсти правило «строка на столбец». Чтобы умножить строку, ее надо поставить слева от матрицы. В результате мы также получим строку. Правило «строка на столбец» соблюдается. Элемент -2-i получается как –i*1 плюс (-1+i)*(1+i).

Если умножить строку на столбец, то получим просто число.

Для матриц существует операция, являющаяся обобщением комплексного сопряжения и широко использующаяся в квантовой механике. Она называется эрмитово сопряжение и обозначается крестиком. Помимо замены знаков при мнимой единицы она еще подразумевает замену строк на столбцы. То есть эрмитово сопряжение матрицы это комбинация транспонирования и комплексного сопряжения.