Архив за месяц: Ноябрь 2016

Матрицы преобразований и их генераторы

Ноябрь 24, 2016

Не только операции дифференцирования и интегрирования можно представить в виде матриц. Более простые преобразования также представляются квадратными матрицами. Проще всего понять на графическом примере выполнения преобразований над точками на плоскости. Пусть на плоскости задана точка с декартовыми координатами, которые мы будем записывать в столбец: Умножая квадратную матрицу на этот вектор-столбец получим другой вектор-столбец с другими координатами: Элементы… Читать дальше »

Метрика. Метрический тензор.

Ноябрь 23, 2016

Метрика (от слова мерить), называемая также метрическим тензором, позволяет находить длины и таким образом несет ответственность за всю геометрию пространства. Длину  вектора можно найти через его декартовы координаты по теореме Пифагора: Обычно говорят о квадрате длины, являющейся также скалярным произведением вектора с самим собой: Поскольку размерность пространства может быть больше двух, координаты удобно различать не… Читать дальше »

Интеграл и оператор интегрирования

Ноябрь 17, 2016

Если дифференциал связан с разностью, то интеграл — с суммой (integrate — совмещать, объединять). Знак интеграла представляет собой вытянутую S (summ — сумма). Интегрирование — операция обратная дифференцированию. Если нам дана функция , являющаяся производной другой функции : или , то чтобы найти эту функцию (первообразную) достаточно проинтегрировать обе стороны равенства: Поскольку символ интеграла   выполняет действие, обратное… Читать дальше »

Производная и оператор дифференцирования

Ноябрь 16, 2016

Значение дифференциального и интегрального исчислений сложно переоценить. Фактически современная наука и началась с открытия Ньютоном законов механики и разработки им же соответствующего математического аппарата для анализа следствий этих законов. С тех пор математика была и остается тесно переплетенной с физикой. Иногда для физики используется разработанный математиками аппарат, как в случае с общей теорией относительности Эйнштейна. Иногда… Читать дальше »

Геометрическая интерпретация специальной теории относительности. Световой конус.

Ноябрь 8, 2016

Все эффекты специальной теории относительности (замедление времени, сокращение расстояния) можно вывести из преобразований Лоренца, связывающих координаты и время движущейся (штрихованной) и неподвижной систем отсчета: ; ; Если построить траекторию светового луча на графике где по оси х будет координата, а по оси y время (умноженное на скорость света), то получим линию под углом 45°. Это… Читать дальше »