Архив за месяц: Май 2019

Теория групп 5 — Группы Ли. Группа поворотов SO(2)

Май 14, 2019

В теории групп очень много интересных теорем и десятки терминов даже в рамках обычных дискретных групп: нормальная подгруппа, классы, факторгруппа и многое другое. Но мы сейчас не будем на них останавливаться, а сразу перейдем к так называемым группам Ли. Они получили широкое распространение в квантовых теориях. В предыдущих видео мы рассматривали группу D3 поворотов и… Читать дальше »

Теория групп 4 — Теория представлений групп

Май 6, 2019

Мы видели, что группа является довольно абстрактным математическим объектом. Операцией группы может быть что угодно: обычное умножение или сложение, поворот, инверсия… да что угодно. Элементами группы также могут быть абстрактные объекты вроде поворота на 240°. Но мы также видели, что иногда можно найти изоморфную группу в которой абстрактные операции исходной группы заменяются на более привычные… Читать дальше »

Теория групп 3 — Подгруппы. Абелевы и неабелевы группы. Спонтанное нарушение симметрии.

Май 3, 2019

Приведем еще раз таблицу умножения группы С3 – группы поворотов на 120 и 240°, оставляющей инвариантным равносторонний треугольник. Однако можно придумать и другие операции не изменяющие такой треугольник. Отражение относительно каждой из трех осей σ1, σ2 и σ3 также не меняет треугольник. Запишем таблицу умножения для всех шести преобразований. Мы видим, что при умножении получаем… Читать дальше »

Теория групп 2 — Изоморфизм

Май 3, 2019

Группы описывают симметрию объекта. Но как мы видели, определение группы довольно абстрактно и не привязано к геометрии. Под определение группы попадает, например, вот такая вещь.  Возьмем просто два числа: единицу и минус единицу. Таблица умножения для них имеет следующий вид. Можно убедиться, что эти два числа образуют группу. Операцией группы является простое умножение. Единичным элементом… Читать дальше »