Спин электрона. Часть 4 – Матрицы Паули.

Август 13, 2016

Первая статья серии про спин тут.

В предыдущей статье мы показали, что каждому направлению спина в квантовой механике соответствует тот или иной вектор состояния. Откуда же берутся численные значения векторов состояния для направлений тех или иных осей? Оказывается, что

любой измеряемой величине в квантовой механике соответствует матрица,

в том числе и спину. Причем,

после измерения система описывается одним из собственных векторов матрицы измеряемой величины.

Что такое собственный вектор проще всего понять на примере обычных векторов. Матрица в этом случае выражает какое-либо действие с векторами (поворот, масштабирование, сдвиг и т.п.). Умножая матрицу на вектор получаем другой вектор (повернутый, увеличенный в размере). Например, следующая матрица масштабирует (увеличивает в 3 раза) в направлении диагонали x=y.

\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}
\binom{x}{y} = \binom{x’}{y’}\)

Eigenvectors-extended

Собственные векторы матрицы – это те что не меняют направление при воздействии данной матрицы. Синие и розовые на анимации – это собственные векторы данного преобразования (матрицы). Собственные векторы идут в паре с собственными значениями. Собственное значение – это просто число, обозначающее во сколько раз изменилась длина собственного вектора при преобразовании. У розовых в нашем случае собственное значение равно единице (длина не изменилась), а у синих 3 (увеличилась в три раза). Математически все сказанное можно сформулировать так: если вектор \(\displaystyle \boldsymbol{v} \)  это собственный вектор матрицы M, то умножение матрицы на этот вектор сводится к умножению на число \(\displaystyle \lambda \)  (собственное значение):

\(\displaystyle \hat{M}\boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v} \) если \(\displaystyle \boldsymbol{v} \) — собственный вектор

Итак, спиновая матрица Паули оси z выглядит как:

\(\displaystyle
\hat{\sigma _{z}}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\)

Ее собственные векторы это вектор состояния электрона со спином вверх (собственное значение +1):

\( \displaystyle|\uparrow\rangle = \binom{1}{0}\)

и вниз (собственное значение -1):

\( \displaystyle|\downarrow\rangle = \binom{0}{1}\)

Проверьте, что при умножении матрицы на эти векторы мы получим те же самые, умноженные на собственное значение. Собственные значения в квантовой механике играют особую роль .

Собственные значения – это те значения, которые могут получится при измерении величины, описываемой данной матрицей.

В случае спиновых матриц это +1 или -1, соответствующих измеренному спину «вверх» и «вниз». Это математическое описание эффекта квантования: мы не можем получить при измерении спин каким-либо другим, поскольку других собственных значений у данной матрицы нет. Та же самая причина, например, кроется в дискретности энергетических уровней в атомах: энергия – это измеряемая величина и, соответственно, тоже описывается матрицей.

Две другие матрицы спина относительно осей y и x имеют вид:

\(\displaystyle
\hat{\sigma _{y}}=\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i &0
\end{pmatrix}\);

\(\displaystyle
\hat{\sigma _{x}}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1  &0
\end{pmatrix}\)

Их собственные значения также +1 и -1, а собственные векторы мы уже приводили.

Заметили симметрию матриц? Это не случайно. Измеряемым величинам соответствуют только эрмитовы матрицы. Их собственные значения и диагональные элементы – это действительные числа, а остальные элементы симметричны относительно диагонали и являются комплексно-сопряженными друг другу.

Теперь мы даже можем посчитать вероятность измерения того или иного значения спина электрона относительно любой оси, а не только взаимно перпендикулярных x, y и z. Также как обычный вектор \( \displaystyle v\)  можно разложить по трем базисным с соответствующими координатами \( \displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}\), матрицу измерения спина относительно любой оси можно составить из матриц Паули:

\(\displaystyle
\hat{\sigma}\cdot \boldsymbol{v}=v_{x}\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 &0
\end{pmatrix}+v_{y}\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i &0
\end{pmatrix}+v_{z}\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 &-1
\end{pmatrix}\)
где \(\displaystyle v_{x}, v_{y},v_{z}\) – координаты обычного вектора \(\displaystyle v\), указывающего направление оси (просто числа).
Давайте, например, найдем вероятность того, что электрон со спином «вверх» относительно оси y окажется со спином «вверх» относительно повернутой на 45° оси в плоскости xy.
Электрон со спином «вверх» относительно оси y описывается собственным вектором матрицы \(\displaystyle \hat{\sigma _{y}} \) с собственным значением +1. Мы его приводили раньше:

\(\displaystyle
|\rightarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{-i}{1}\)

Вектор, повернутый на 45° это, например, вектор (обычный) с координатами \(\displaystyle (1, 1, 0)\) или \(\displaystyle (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0)\) если привести его длину к единице. Матрица, соответствующая измерению спина относительно этой оси равна:

\(\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 &0
\end{pmatrix}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i &0
\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & 1-i\\
1+i &0
\end{pmatrix}\)

Ее собственный вектор с собственным значением +1 это:

\(\displaystyle
|\nearrow\rangle = \binom{0.5-0.5i}{\sqrt{2}}\)

Для нахождения вероятности необходимо возвести в квадрат абсолютное значение амплитуды вероятности:

\(p=|\langle\nearrow|\rightarrow\rangle |^{2}\approx 0.8536\)

Интуитивно можно было бы предположить, что если при угле 0° отклоняется 100% электронов, а при угле 90° отклоняется 50%, то при угле 45° должно отклонится 75%=100-50/2. Интуиция предпочитает линейную аппроксимацию. Правильный результат: 85.36%. И он совпадает с аналитическим выражением:

\(\displaystyle p=\frac{1+cos(\alpha)}{2}\approx 0.8536\) при \(\displaystyle \alpha=\frac{\pi }{4}\)

Видите, откуда-то из матриц косинус вдруг появился. Так классическая механика следует из квантовой.

В квантовой механике также широко распространено употребление понятия оператор. Оператор — это абстрактный математический объект, который в конкретном численном выражении может быть представлен матрицей (в том числе бесконечномерной). Как и вектор, который через координаты может быть по-разному записан в зависимости от базиса или системы координат, один и тот же оператор может быть выражен разными матрицами. Операторы часто обозначают шапочкой наверху как мы сделали выше для операторов спина \(\displaystyle \hat{\sigma}\) (сигма. греческая s. spin.). А иногда вообще ничем не выделяют – операторы в квантовой  механике чаще используются чем обычные переменные, поэтому по умолчанию любая буква – это оператор.

Важным взаимным свойством двух операторов является коммутируемость. Известно, что порядок умножения матриц имеет значение. Так вот, если \(\displaystyle \hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}\) говорят, что операторы коммутируют (коммутатор равен нулю). Проверьте, что для любых пар операторов \(\displaystyle\hat{\sigma _{z}},\hat{\sigma _{y}},\hat{\sigma _{x}}\) это не так. Они не коммутируют. В квантовой механике этому есть физическая интерпретация:

величины, операторы которых не коммутируют, нельзя измерить одновременно.

Нельзя одновременно измерить спин относительно двух осей. В случае операторов координаты и импульса данный факт больше известен как принцип неопределенности Гейзенберга.

Следующая статья про принцип суперпозиции.

Спин электрона. Часть 4 – Матрицы Паули.: 4 комментария

  1. Андрей

    По-моему, тут ошибка в найденном собственном векторе, который повернут на 45 градусов

    1. LightCone Автор записи

      Собственные векторы не уникальны. Мой вектор тоже является собственным. Проверьте))

  2. Альф

    Скажите, пожалуйста, почему Вы говорите, что матрица в примере масштабирует в 2 раза, а не в 3 ? Ведь умножение данной матрицы на вектор х=1 у=1 даёт вектор х’=3 y’=3. К тому же, если просто приложить линейку к экрану, то видно, что длина синих векторов изменяется в 3 раза, а не в 2

Добавить комментарий для Альф Отменить ответ