Бог абстракции — Александр Гротендик

Александр Гротендик. Величайший математик 20 века. Филдсовский медалист 1966 года. Гений, изменивший вид современной математики. А также неординарная личность, впрочем как и все гении его уровня.

Несмотря на это за пределами математических кругов он практически неизвестен. И даже многие вещи, полученные им в математике, не названы в его честь. В основном это связано с тем, что этих вещей слишком много. К тому же Гротендик любил сам давать имена математическим объектам.

Чрезвычайно плодотворный математик. Несмотря на относительно короткую карьеру (25 лет) он написал тысячи страниц математических трудов.

Гротендик был мастером абстракции, хотя тренд по переходу математики на более абстрактный уровень наблюдался и ранее. Он пересмотрел основы математики с чрезвычайно обобщенной точки зрения. И его точка зрения сейчас является стандартным подходом. Студенты математики изучая предмет и не догадываются, что еще недавно все преподносилось совершенно иначе.

 То что в физике сделала теория относительности и квантовая механика, в математике сделал Гротендик. Он перенес акцент с рассмотрения самих математических объектов на рассмотрение отношений между ними. Причем с невиданной ранее степенью общности.

Вот как один из ведущих математиков того времени Борель вспоминает свою первую встречу с Гротендиком.

В перерыве между лекциями я болтал с выдающимся математиком — Эресманом. Молодой человек встал перед Эресманном и безо всяких церемоний спросил его: Вы эксперт по топологическим группам? Эресманн сказал: Да, я знаю кое-что о топологических группах. Но мне нужен действительно эксперт! Это был 21-летний Александр Гротендик. Борель вспоминает, что Гротендик спросил: Является ли каждая локальная топологическая группа ростком глобальной топологической группы? Борель знал контрпример, но сам вопрос показывает, что уже тогда Гротендик мыслил в чрезвычайно обобщенных терминах.

Про детство Гротендика известно не много. Отец украинец. Был анархистом и провел суммарно 10 лет в тюрьмах. В 1921 году он покидает Россию и проводит время во Франции, Германии, Бельгии. В Берлине он встречает будущую мать Гротендика. Там же в 1928 рождается Александр. В 1942 отца помещают в Освенцим где он и умирает. В общем детство Гротендика было аскетичным. Политическая активность родителей к сожалению передалась и Александру. Политические причины станут причиной его раннего ухода из мира математики.

 К концу войны в 1945 Гротендику было 17. Он живет с матерью во Франции в Монпелье и посещает местный университет. В это время Гротендик начинает увлекаться математикой.  Хотя математику как он вспоминает там преподавали плохо, просто зачитывая учебники. Один из худших университетов Франции в плане математики.

Особо Гротендика не устраивали даваемые определения понятий длины, площади и объема. Пытаясь самостоятельно разобраться, он переоткрыл теорию меры и интеграл Лебега.

Преподаватель математики в Монпелье рекомендовал Гротендику поехать в Париж —  математический центр Франции. В 1948 году он так и делает. Как вспоминает Андре Мегнер, проводивший собеседование:

Я был поражен! Вместо положенных 20 минут он 2 часа объяснял мне как он реконструировал теории, которые конструировались математиками десятилетия.

Хотя полученные Гротендиком результаты были уже известны, он не расстроился. Вот что он вспоминает:

Не зная этого, я научился сути деятельности математика – то чему не может научить ни один учитель. Мне никто не сказал, но я знал всем своим существом, что я математик: тот кто занимается математикой, в полном смысле этого слова – как заниматься любовью.

“Without knowing it, I learned in solitude what is essential to the metier of a mathematician—something that no master can truly teach. Without having been told, I nevertheless knew ‘in my gut’ that I was a mathematician: someone who ‘does’ math, in the fullest sense of the word—like one ‘makes’ love”

Гротендик посещает семинары Анри Картана по симплициальной алгебраической топологии и теории пучков – тогда новейших разделов математики, не преподаваемых более нигде во Франции. Там он знакомится с выдающимися математиками того времени: Клод Шевалле, Жан Дьёдонне, Лоран Шварц, Андре Вейль. Среди студентов Картана был Жан-Пьер Серр.

Однако большинство из них получила совершенно иное образование. Они были выпускниками престижнейшей Высшей нормальной школы. По уровню знаний Гротендик на их фоне был аутсайдером. К тому же его родным языком был немецкий. Несмотря на это он никогда не стеснялся задавать вопросы и вообще общался с великим Картаном на равных.

В 1949 по совету Картана и Вейля он покидает Париж и переезжает в город Нанси, который также являлся крупным математическим центром. Там работали Шварц и Дьёдонне.

Однокурсник Гротендика Рибенбойм вспоминает:

Он не был среднестатистическим. Очень требователен к себе и ко всем другим. У Гротендика было очень мало книг. Вместо изучения материала по книгам он пытался выводить его сам. Он работал очень много. Однажды Шварц сказал мне: ты кажешься хорошим, сбалансированным молодым человеком. Подружись с Гротендиком и сделай что-нибудь чтобы он не только работал.

Семинары Шварца и Дьёдонне были посвящены топологическим векторным пространствам. Работая в этой области они наткнулись на ряд проблем и решили поручить их Гротендику. Они были шокированы когда за пару месяцев он решил их все.   

Там же Гротендик делает диссертацию в которой начинает проявляться его впоследствии знаменитое чрезвычайно абстрактное мышление. Диссертация также была издана в виде монографии и переиздавалась 7 раз, последний аж в 1990. Как пишет Эдвард Эфрос:

Работа Гротендика по функциональному анализу была выдающейся. Он был первым кто осознал, что методы теории категорий могут быть использованы  в этой чрезвычайно аналитической ветви функционального анализа. В некоторых вещах Гротендик опередил свое время. Потребовалось по меньшей мере 15 лет чтобы работа Гротендика была интегрирована в мейнстрим теории Банаховых пространств, в основном из-за его нестандартной алгебраической перспективы.

В это время Гротендик жил с матерью в арендованной квартире, вел спартанский образ жизни и как вспоминают сокурсники питался только молоком с бананами и был полностью погружен в математику.

После защиты диссертации Гротендик сказал что более не интересуется топологическими векторными пространствами:

Там больше нечего делать, данная область мертва.

В то время от студентов требовалось подготовить так называемую вторую диссертацию, которая не содержала оригинальных исследований, но должна была продемонстрировать глубину понимания автора в другой области математики, не связанной с темой диссертации. Темой второй диссертации Гротендика стала теория пучков и с этого времени он стал интересоваться алгебраической геометрией – области где он получит свои самые знаменитые результаты.

В 1955 Гротендик посещает Бразилию и США. В это время выходит его ставшая сейчас классической работа известная специалистам как Tôhoku paper. Также он развивает свои идеи касательно неабелевой когомологии, область к которой он позднее вернется в контексте алгебраической геометрии.

В 1956 Гротендик возвращается во Францию. Как вспоминает Борель:

Он кипел идеями. Я был уверен, что он разродится чем-то первоклассным. Но то что он выдал было еще более грандиозным чем я ожидал. Это была его версия теоремы Римана-Роха, и это фантастическая теорема. Это действительно математический шедевр.

Теорема Римана-Роха в своей классической форме была доказана в 19 веке. Теорема касается размерности пространства мероморфных функций на компактной поверхности Римана. Формула Римана-Роха дает размерность в терминах инвариантов поверхности и таким образом связывает аналитические и топологические свойства поверхности.

В 1953 Фридрих Хирцебрух обобщил теорему Римана-Роха и применил ее не только к римановым поверхностям, но и к проективным несингулярным алгебраическим многообразиям над комплексными числами.

Все математическое сообщество думало, что это последнее слово в данном вопросе. Но тут появился Гротендик и сказал:

Нет, теорема Римана-Роха это не теорема об алгебраических многообразиях. Это теорема о морфизмах между многообразиями. Это фундаментально новая точка зрения. Само утверждение теоремы фактически поменялось. Философия теории категорий, гласящая что важны не столько объекты как стрелки между объектами, только начала оказывать свое влияние. Гротендик применил эту философию к чрезвычайно сложному разделу математики. Все это лежит в духе категорий и функторов, но никто никогда и не думал о том чтобы применить все это к такой сложной теме.

В таком свете теорема Хирцебруха-Римана-Роха следует как частный случай. Удивительно, но Гротендик даже не удосужился опубликовать свое доказательство теоремы. Это вместо него сделали Борель и Серр.

В 1963 Майкл Атья и Изадор Зингер своей теоремой об индексе еще более обобщил Римана-Роха. Гротендик в своем доказательстве ввел то, что сейчас называется группы Гротендика – фактически новый тип топологического инварианта. Гротендик называл их К-группы и они являются стартовой точкой развития топологической К-теории Атьи и Хирцебруха. Топологическая К-теория в свою очередь ведет к алгебраической К-теории активно развивающейся и в настоящее время. Кстати применяемой в теории струн.

Это был не последний раз когда Гротендик произвел революцию во взглядах на предмет. Как вспоминает Катц:

Такое происходило снова и снова. Он подходил к проблеме над которой люди думали в некоторых случаях сотни лет и просто полностью трансформировал взгляд на предмет. Гротендик не просто решал выдающиеся проблемы, но преобразовывал сами вопросы, которые они ставили.

В 1958 Гротендик делает пленарный доклад на национальном конгрессе математиков в Эдинбурге. Там он излагает идеи над которыми будет заниматься последующие 10 лет. Было ясно, что он нацелился доказать знаменитые гипотезы Андре Вейля, которые намекали на глубокую связь между дискретным миром алгебраических многообразий и непрерывным миром топологии.  

В то время алгебраическая геометрия бурно развивалась, существовало много открытых вопросов. Требовалась не слишком сильная математическая подготовка чтобы работать в данной области. Обычно изучались только алгебраические многообразия над комплексными числами. Многие результаты не имели строгих доказательств.

В 1930-40 годах такие математики как Ван дер Варден, Андре Вейль и Оскар Зарисский хотели работать с многообразиями над произвольными полями. Но из-за недостаточной строгости тогдашней алгебраической геометрии было необходимо построить для нее новый фундамент. Это как раз то, что сделал Вейль в своей книге 1946 года «Основания алгебраической геометрии».

Гипотезы Вейля появились в его работе 1949 года. Они предполагали связь между алгебраической геометрией и топологией и намекали на новые инструменты, такие как теория когомологий, которые будучи развитыми для топологических пространств могли быть адаптированы и для алгебраических многообразий.

Как только гипотезы Вейля были сформулированы стало понятно, что они впоследствии сыграют важную роль поскольку казалось очевидным, что их решение потребует развития новых ценных математических инструментов и как впоследствии оказалось, так оно и есть. 

Гротендика привлекла как раз связь между алгебраической геометрией и топологией. Ему нравилась идея превращения мечты Вейля в реальность.

Как вспоминает Пьер Делинь:

Гротендик не был заинтересован в гипотезах Вейля потому что они были знамениты или потому что считались труднодоказуемыми. Его вообще не мотивировали сложные задачи. Что его интересовало так это проблемы которые могли привести к более глубоким, скрытым объектам. Он пытался найти структуры, которые были естественным домом рассматриваемой проблемы. Это интересовало его больше, чем решение конкретной проблемы.

Такой подход резко контрастирует с подходом другого великого математика того времени – Джона Нэша. Нэш наоборот брался за проблемы, которые рассматривались коллегами наиболее сложными. Если Неш был классическим решателем задач, то Гротендик – классическим создателем теорий. Гротендик имел видение какой должна быть математика.

В 1958 по приглашению Оскара Зарисского Гротендик посещает Гарвард. К тому времени Гротендик развил когомологические методы, которые имели отношение к теореме связности доказанной Зарисским в 1940. Сам Зарисский не был знаком с методами Гротендика, но понимал их важность и хотел чтобы его студенты познакомились с ними.    

Зарисский и Гротендик были совершенно разными по стилю математиками. Зарисский часто рисовал на доске диаграммы кривых, чтобы легче представить связь геометрии с алгеброй. Гротендик никогда этого не делал. Казалось он никогда не мыслит в терминах конкретных примеров. Он мог нарисовать только коммутативные диаграммы.

Как вспоминает Мамфорд, который в то время был студентом Зарисского:

Гротендик никогда не обращался к конкретным примерам. Я могу понять вещи только посредством примеров, плавно продвигаясь от более конкректных к более абстрактным. Но Гротендик никогда не мыслил в терминах примеров, а наоборот в наиболее абстрактной форме. Это очень необычно. Но так работал его мозг.

Лекции Гротендика в Гарварде потрясали своим уровнем абстракции. Однажды я спросил Гротендика как доказать определенную лемму и в ответ получил чрезвычайно абстрактный аргумент. Я сначала не поверил, что с помощью такого абстрактного аргумента можно доказать такую чрезвычайно конкретную лемму. Но я размышлял над этим пару дней и оказалось, что это действительно так.

Гротендик — это единственный человек которого я встречал имеющий поразительную способность погрузится во что-то на порядки более абстрактное. Он всегда искал способ сформулировать проблему убрав все лишнее так, что казалось вообще ничего не осталось. Однако что-то оставалось, и он мог найти реальную структуру в таком кажущемся вакууме.

Вот еще одно воспоминание о гарвардских лекциях от тогда студента Марвина Гринберга:

Мое первое впечатление от лекций Гротендика было как будто он прибыл к нам на Землю от сверхразвитой внеземной цивилизации для того чтобы ускорить нашу интеллектуальную эволюцию. Его бритая голова, его быстрая, интенсивная манера речи, плюс новые концепции и общность его точки зрения на алгебраическую геометрию производили неизгладимое впечатление. Я помню он читал лекцию о Гильбертовых схемах и в конце он внезапно объявил, что может развить эту тему с еще более общей точки зрения. Профессор Оскар Зариский остановил Гротендика и попросил его придержать лошадей. (Гринберг)

В 1958 году в Париже основывается Институт высших научных исследований IHES с целью стать французским аналогом Института перспективных исследований в Принстоне. Институт планировал заниматься математикой и теоретической физикой. За десятилетие он стал ведущим мировым центром математики. Математическое отделение предложили возглавить Дьедоне. Но он сказал, что примет приглашение только если предложение поступит и Гротендику. В Марте 1959 в IHES стартовал семинар Гротендика по алгебраической геометрии.

До 1962 года у института не было постоянного помещения. Для проведения семинаров арендовались офисы или помещения парижских университетов. Были случаи, что приглашенные профессора работали в своих гостиничных номерах. Существует легенда, что один из слушателей проявил недовольство отсутствием институтской библиотеки на что Гротендик ответил: Мы не читаем книги, мы их пишем!

И действительно, за несколько первых лет Гротендик с Дьедоне выпустили монументальную работу Éléments de Géométrie Algébrique, известную сейчас под акронимом EGA, и содержащую 1800 страниц. Данный труд до сих пор остается актуальным, охватывает широкий круг вопросов и изучается будущими математиками.

В конце 50-х Гротендик был членом Бурбаки – псевдонима группы математиков, основателем которой был Дьедоне. Большинство членов группы составляли выдающиеся французские математики: Картан, Шевалье, Вейль. Целью книг была аксиоматическая формулировка математики на достаточно обобщенном уровне. Книги Бурбаки рождались в результате дискуссий между членами группы. Они оказали значительное влияние в 1970-80 годах но критиковались за слишком высокий уровень абстракции.

Однако Гротендику этот уровень абстракции наоборот казался недостаточным. Гротендик имел свое видение, и изложение Бурбаки было для него недостаточно общим. К тому же он предпочитал развивать свои идеи, а не переформулировать известные разделы математики. В 1960 он выходит из состава группы, но поддерживает контакты с ее членами. 

Другой монументальной работой Гротендика того периода является Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie, известный как SGA. Это печатная версия проводимых в IHES семинаров. Суммарный объем EGA и SGA составляет 7,500 стр.

Как пишет Гротендик, все эти работы нацелены на объединение двух миров: арифметический мир в котором пространства не имеют понятия непрерывности и мир непрерывных вещей, доступных методам анализа.

Для достижения этой цели Гротендик приходит к необходимости обобщения алгебраических и геометрических понятий. Он вводит множество новых математических объектов среди которых схема и топос.

Схема является обобщением алгебраического многообразия. Она позволяет единообразно изучать различные виды алгебраических многообразий. Как сказал Майкл Артин:

Я не думаю, что люди вообще верили, что такое возможно. Это было слишком радикальным.

Или как говорит Мамфорд:

Это было как ночь и день. Это перевернуло область вверх ногами. Это как анализ до и после Фурье. Как только вы узнаете о техниках Фурье-анализа вы вдруг получаете другой взгляд на функцию. Такое же было с когомологией.

Топос в свою очередь обобщает понятие пространства. Как пишет Пьер Делинь:

Теория, которую создал Гротендик чтобы понять гипотезы Вейля, заключалась в том, что сначала он создал концепцию топоса, обобщающего понятие пространства, а затем определил топос, подходящий для данной проблемы. Гротендик также показал, что интуиция которую мы имеем применительно к обычным пространствам работает также и для топоса. Это была очень глубокая идея.

Гротендик является автором и многих других абстрактных концепций, которые сейчас активно используются. Например мотивы, которые сейчас являются частью программы Ленглендса. Эндрю Уайлс в своем доказательстве знаменитой теоремы Ферма использовал двумерные мотивы, полученные из эллиптических кривых. Недавно покинувший нас Владимир Воеводский получил Филдсовскую медать за развитие идей Гротендика. Вообще советская школа математиков любила работать в духе Гротендика: Владимир Дринфельд, Максим Концевич, Юрий Манин.

 Гротендик говорил, что суть его работы — это не теоремы, а идеи и даже мечты.

В годы семинаров в IHES Гротендик полностью посвящает себя математике. Он работал 12 часов в день, 7 дней в неделю и так на протяжении 10 лет. Он был лидером целого большого направления математических исследований. Вот что пишет Филдсовский медалист Рене Том:

Его техническое превосходство было сокрушительным. Его семинар привлекал всю Парижскую математическую элиту, тогда как мне не было предложить ничего нового. Это вынудило меня покинуть мир математики.

Гротендик был гением даже на фоне других филдсовских медалистов.

Как и многие гении, Гротендик был неординарной личностью. Он принципиально не получал французское гражданство, так как за ним в придачу шла воинская повинность, а он не хотел иметь никакие дела с военными. У него вообще не было гражданства ни одной страны. Был только Нансеновский паспорт человека без гражданства. При посещении других стран он отказывался подписывать стандартные бумаги, что не собирается свергать местную власть. Жил крайне аскетически. Когда была возможность давал приют незнакомцам. Во времена хиппи одно время жил в коммуне. У него несколько детей от разных женщин о которых он фактически не заботился.

Участвовал во всяких политических протестах. Выступал против войны во Вьетнаме, давал там лекции посреди джунглей прямо во время активных боевых действий. Сталина он тоже не любил. Отказался ехать в Москву где ему должны были вручить медаль Филдса.

Политические разногласия стали причиной того, что он ушел из института IHES, хотя он по праву считал себя одним из его основателей. Он выяснил, что 5% бюджета института финансировалось министерством обороны. После ухода он с удивлением обнаружил, что большинство его коллег не поддерживают его политические взгляды. В качестве ответа он решил выйти из этого круга общения математической элиты. И это произошло в 1970 году когда Гротендику было всего 42 года. Поскольку он не любил читать математические статьи, а привык получать информацию о текущем положении дел через личное общение с математиками, то по-сути он стал аутсайдером.

Для нас простых смертных кажется поразительным как человек с таким даром мог добровольно отказаться от его использования из-за какой-то политики.

После 1970 года если его куда и приглашали прочитать лекцию, то он не менее половины отведенного времени посвящал политической агитации. В итоге его перестали куда либо вообще звать. Хотя все соглашались в том, что политик из него никудышный. Он был слишком наивен для политика.

Гротендик идеализировал своего отца – революционера. Также как и отец он брил голову. Он восхищался Эваристом Галуа – еще одним молодым математическим гением, автором теории групп, которого также сгубила политика.

До выхода на пенсию он занимался преподавательской деятельностью в провинциальных университетах. Студенты даже и не догадывались, что им читает лекции гений, преобразивший основы современной математики. После выхода на пенсию он вообще разорвал все личные контакты, уехал никому не оставив адреса для переписки и жил один до конца жизни в деревушке в горах Пиренеях.

Но даже будучи отдаленным от математического сообщества он продолжал неустанно писать. Тысячи страниц рукописей. Работы постепенно сдвигались от строгих математических трактатов в сторону философских размышлений и воспоминаний. Какое-то время он рассылал эти рукописи из сотен страниц ближайшим коллегам и друзьям. Некоторые из них оцифрованы, но более 20 000 страниц так и не опубликовано. Многие из своих поздних работ он сам сжег.

Он жаловался, что многие из его идей не были развиты. И действительно, после ухода Гротендика из математики в 1970 исследования в алгебраической геометрии начали сдвигаться от абстрактного подхода Гротендика к более конкретным задачам. Что, впрочем, не удивительно. Другого человека у кого бы абстрактное мышление было сопоставимо с Гротендиком просто не существовало.

Из 86 лет жизни Гротендик посвятил академической математике только 25. Интересно как бы выглядела современная математика удели он ей чуть более своего времени.