Итак, спинор — это вектор, живущий в двумерном комплексном пространстве. То есть его можно представить как вектор с двумя комплексными координатами – компонентами вектора. Спинор можно повернуть, действуя на него элементами группы SU(2). Элементы группы находятся экспоненцированием генераторов группы. Мы пришли к группе SU(2) через кватернионы i j k, но в физике обычно все формулируют… Читать дальше »
Гамильтон конечно намного опередил свое время введя кватернионы. Представьте только, что в его время не были известны ни векторы, ни матрицы, ни тем более операторы. Ввести объекты для которых не соблюдается коммутативный закон умножения было более чем оригинально. Итак, по определению вектором называется чистый кватернион. Но эта сумма очень похожа на разложение вектора по трем… Читать дальше »
Комплексные числа рассматривались еще Эйлером. Гаусс пришел к их геометрической интерпретации в виде точки на плоскости. Как мы видели в предыдущем видео с помощью них можно описать повороты на плоскости. Уильям Роуэн Гамильтон, тот самый который нашел альтернативную формулировку Ньютоновской механики и в честь которого в квантовой механике назван оператор энергии, он решил найти обобщение… Читать дальше »
Открытие комплексных чисел многими считается моментом рождения современной математики. До этого считалось, что всю математику исследовали вдоль и поперек еще в античности. Ничего нового уже не будет. Как же они ошибались. С этого момента математика начала развиваться по экспоненте. По комплексной экспоненте, которую мы и рассмотрим в этом видео. По определению i2=-1. Леонард Эйлер изучая… Читать дальше »
Элементы групп Ли всегда можно найти матричным экспоненцированием генераторов групп Ли. Сами элементы можно рассматривать как операторы, действующие на векторы. Эти операторы при действии на вектор изменяют его. Но поскольку мы говорим про группы, то при действии элемента группы что-то должно остаться неизменным. В конечном счете группы ведь описывают симметрию объектов. Сгенерируем несколько точек на… Читать дальше »
По аналогии с группой поворотов на плоскости SO(2) можно построить группу поворотов в трехмерном пространстве. Она называется SO(3) – специальная ортогональная размерности 3. Инвариантной при операции группы будет уже сфера. Или, говоря на языке векторов, не будет меняться длина вектора, исходящего из начала координат. Группа SO(3) содержит ортогональные матрицы размером 3х3 с единичным детерминантом. Ортогональные… Читать дальше »
Вернемся к группе SO(2) – группе поворотов на плоскости. Как мы видели, элементы группы можно представить квадратными матрицами. Зная угол альфа можно получить конкретный вид матрицы поворота, вычислив соответствующие синусы и косинусы. Идея, стоящая за понятием генератора группы следующая. Поворот на произвольный угол можно представить как последовательность поворотов на малый, бесконечно малый угол. То есть… Читать дальше »
В теории групп очень много интересных теорем и десятки терминов даже в рамках обычных дискретных групп: нормальная подгруппа, классы, факторгруппа и многое другое. Но мы сейчас не будем на них останавливаться, а сразу перейдем к так называемым группам Ли. Они получили широкое распространение в квантовых теориях. В предыдущих видео мы рассматривали группу D3 поворотов и… Читать дальше »
Мы видели, что группа является довольно абстрактным математическим объектом. Операцией группы может быть что угодно: обычное умножение или сложение, поворот, инверсия… да что угодно. Элементами группы также могут быть абстрактные объекты вроде поворота на 240°. Но мы также видели, что иногда можно найти изоморфную группу в которой абстрактные операции исходной группы заменяются на более привычные… Читать дальше »
Приведем еще раз таблицу умножения группы С3 – группы поворотов на 120 и 240°, оставляющей инвариантным равносторонний треугольник. Однако можно придумать и другие операции не изменяющие такой треугольник. Отражение относительно каждой из трех осей σ1, σ2 и σ3 также не меняет треугольник. Запишем таблицу умножения для всех шести преобразований. Мы видим, что при умножении получаем… Читать дальше »