В теории групп очень много интересных теорем и десятки терминов даже в рамках обычных дискретных групп: нормальная подгруппа, классы, факторгруппа и многое другое. Но мы сейчас не будем на них останавливаться, а сразу перейдем к так называемым группам Ли. Они получили широкое распространение в квантовых теориях. В предыдущих видео мы рассматривали группу D3 поворотов и… Читать дальше »
Мы видели, что группа является довольно абстрактным математическим объектом. Операцией группы может быть что угодно: обычное умножение или сложение, поворот, инверсия… да что угодно. Элементами группы также могут быть абстрактные объекты вроде поворота на 240°. Но мы также видели, что иногда можно найти изоморфную группу в которой абстрактные операции исходной группы заменяются на более привычные… Читать дальше »
Приведем еще раз таблицу умножения группы С3 – группы поворотов на 120 и 240°, оставляющей инвариантным равносторонний треугольник. Однако можно придумать и другие операции не изменяющие такой треугольник. Отражение относительно каждой из трех осей σ1, σ2 и σ3 также не меняет треугольник. Запишем таблицу умножения для всех шести преобразований. Мы видим, что при умножении получаем… Читать дальше »
Группы описывают симметрию объекта. Но как мы видели, определение группы довольно абстрактно и не привязано к геометрии. Под определение группы попадает, например, вот такая вещь. Возьмем просто два числа: единицу и минус единицу. Таблица умножения для них имеет следующий вид. Можно убедиться, что эти два числа образуют группу. Операцией группы является простое умножение. Единичным элементом… Читать дальше »
Сложно переоценить значение теории групп для современных естественных наук. Приведем лишь один пример из физики. Оказывается каждому типу фундаментального взаимодействия соответствует своя группа. Электромагнитным взаимодействиям соответствует группа с названием U(1). Слабым взаимодействиям, ответственным за ядерные распады, группа SU(2). Сильным взаимодействиям, удерживающим кварки в протонах и нейтронах соответствует SU(3). Удивительно, но свойства фундаментальных частиц и их… Читать дальше »
Наиболее распространенным заблуждением среди диванных экспертов является утверждение о реальности волновой функции. В СМИ ситуация озвучивается обычно так. Ученые разделились на 2 лагеря и спорят вот уже почти 100 лет отражает ли волновая функция реальный физический мир или является лишь математическим инструментом для вычисления вероятностей. На самом деле такая ситуация если и была, то только… Читать дальше »
В предыдущем видео мы нашли собственные векторы и собственные значения оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Но зная явный вид Гамильтониана можно найти и матрицу оператора эволюции. Она равна матричной экспоненте от Гамильтониана, умноженного на –it. Как мы говорили в 41 части данное выражение фактически является явной записью решения уравнения Шредингера. То есть теперь мы можем… Читать дальше »
Запишем выражение для собственных векторов оператора энергии – Гамильтониана. Действие оператора Гамильтона на собственный вектор сводится к умножению его на число – собственное значение. Согласно постулату, собственные значения оператора — это единственно возможные величины, которые мы можем получить при измерении величины, соответствующей этому оператору. В случае Гамильтониана собственные значениями являются энергии, которыми может обладать система.… Читать дальше »
Продолжим разговор про координатный базис. Мы видели, что амплитудам вероятности обнаружить частицу в точке x ставится в соответствие комплекснозначная волновая функция. В предыдущем видео мы также выяснили, что оператору импульса соответствует оператор взятия производной по координате, умноженный на –i. Чему же соответствует сам оператор координаты? Подействуем оператором х на вектор состояния пси. Домножим слева на… Читать дальше »
В 41 части мы получили уравнение Шредингера из основных свойств оператора эволюции во времени. По определению оператор эволюции переводит вектор состояния в начальный момент времени в вектор в последующий момент времени. Оператор эволюции переходит в единичную матрицу если этот момент времени равен исходному и линейно меняется при малом Δt. Чтобы оператор H получился эрмитовым, из… Читать дальше »