Раздел: Математика

Математические открытия или изобретения? Связь математики с физикой.

Август 18, 2017

Роль математики в физике сложно переоценить. Известна цитата Галилео Галилея «Математика — это язык, на котором написана книга Природы». Но только ли языком является современная математика? Работа математиков заключается в нахождении новых математических объектов и исследовании их свойств и взаимосвязей. Со времен Галилея появилось множество новых разделов математики со своим языком для описания математических объектов.… Читать дальше »

Клеточные автоматы

Май 26, 2017

Клеточные автоматы представляют собой дискретные модели с некоторым набором правил для (дискретной) временной эволюции. Проще понять на конкретных примерах. Самые простые — это одномерные клеточные автоматы Стивена Вольфрама. Пространство разбивается на клетки. В случае одномерного автомата разбивается линия. В клетке может находится либо единица, либо ноль. 0 0 0 0 1 0 0 0 0… Читать дальше »

Фракталы из хаоса: chaos game

Май 8, 2017

Операции масштабирования и поворота (или более общие преобразования) можно использовать для генерации фрактальных структур довольно простым способом перемещая всего одну точку. Алгоритм достаточно прост: Генерируем случайные координаты x и y первой точки. Выбираем случайно какую из формул для нахождения координат следующей точки применить. Находим эти координаты. Применяем п.2 много раз. Например, для фрактала «Кривая дракона»… Читать дальше »

Как квадрат может быть окружностью: Манхэттенская метрика и метрика Чебышева

Март 23, 2017

Метрика ответственна за геометрию пространства. Геометрия это в первую очередь длины. По сути задание метрики сводится к заданию формулы вычисления длин. Сгенерируем несколько случайных точек на плоскости:   Расстояние от начала координат до точки можно найти из ее декартовых координат по теореме Пифагора: Данная формула и задает метрику Евклида. Она позволяет вычислять расстояния между точками.… Читать дальше »

Матрицы преобразований и их генераторы

Ноябрь 24, 2016

Не только операции дифференцирования и интегрирования можно представить в виде матриц. Более простые преобразования также представляются квадратными матрицами. Проще всего понять на графическом примере выполнения преобразований над точками на плоскости. Пусть на плоскости задана точка с декартовыми координатами, которые мы будем записывать в столбец: Умножая квадратную матрицу на этот вектор-столбец получим другой вектор-столбец с другими координатами: Элементы… Читать дальше »

Метрика. Метрический тензор.

Ноябрь 23, 2016

Метрика (от слова мерить), называемая также метрическим тензором, позволяет находить длины и таким образом несет ответственность за всю геометрию пространства. Длину  вектора можно найти через его декартовы координаты по теореме Пифагора: Обычно говорят о квадрате длины, являющейся также скалярным произведением вектора с самим собой: Поскольку размерность пространства может быть больше двух, координаты удобно различать не… Читать дальше »

Интеграл и оператор интегрирования

Ноябрь 17, 2016

Если дифференциал связан с разностью, то интеграл — с суммой (integrate — совмещать, объединять). Знак интеграла представляет собой вытянутую S (summ — сумма). Интегрирование — операция обратная дифференцированию. Если нам дана функция , являющаяся производной другой функции : или , то чтобы найти эту функцию (первообразную) достаточно проинтегрировать обе стороны равенства: Поскольку символ интеграла   выполняет действие, обратное… Читать дальше »

Производная и оператор дифференцирования

Ноябрь 16, 2016

Значение дифференциального и интегрального исчислений сложно переоценить. Фактически современная наука и началась с открытия Ньютоном законов механики и разработки им же соответствующего математического аппарата для анализа следствий этих законов. С тех пор математика была и остается тесно переплетенной с физикой. Иногда для физики используется разработанный математиками аппарат, как в случае с общей теорией относительности Эйнштейна. Иногда… Читать дальше »