Раздел: Математика

Теория групп 14 — Глобальная калибровочная инвариантность

Август 14, 2019

Как мы видели, группы являются математическим описанием симметрий. При действии элемента группы что-то должно остаться неизменным, должно сохраняться. В этом свете теорема Нетер о связи симметрий с законами сохранения кажется тривиальной. Мы в основном рассматривали различные группы, осуществляющие операцию поворота в том или ином пространстве. Мы даже пришли к поворотам в пространстве Минковского и поворотам… Читать дальше »

Теория групп 13 — Спиноры и преобразования Лоренца. Гомоморфизм групп SO(1,3) и SL(2,C).

Июль 25, 2019

В предыдущих видео мы видели, что группе трехмерных поворотов SO(3), элементы которой действуют на векторы, можно поставить в соответствие группу SU(2), элементы которой действуют на спиноры. Каждому вектору соответствует спинор. Но поворот вектора на угол α приводит к повороту соответствующего спинора на вдвое меньший угол. Группа SO(3) гомоморфна группе SU(2). В восьмой части мы также… Читать дальше »

Теория групп 12 — Гомоморфизм SU(2) и SO(3). Спиноры и векторы.

Июль 12, 2019

Итак, спинор — это вектор, живущий в двумерном комплексном пространстве. То есть его можно представить как вектор с двумя комплексными координатами – компонентами вектора. Спинор можно повернуть, действуя на него элементами группы SU(2). Элементы группы находятся экспоненцированием генераторов группы. Мы пришли к группе SU(2) через кватернионы i j k, но в физике обычно все формулируют… Читать дальше »

Теория групп 11 — Спиноры и группа SU(2)

Июль 9, 2019

Гамильтон конечно намного опередил свое время введя кватернионы. Представьте только, что в его время не были известны ни векторы, ни матрицы, ни тем более операторы. Ввести объекты для которых не соблюдается коммутативный закон умножения было более чем оригинально. Итак, по определению вектором называется чистый кватернион. Но эта сумма очень похожа на разложение вектора по трем… Читать дальше »

Теория групп 10 — Группа кватернионов

Июнь 20, 2019

Комплексные числа рассматривались еще Эйлером. Гаусс пришел к их геометрической интерпретации в виде точки на плоскости. Как мы видели в предыдущем видео с помощью них можно описать повороты на плоскости. Уильям Роуэн Гамильтон, тот самый который нашел альтернативную формулировку Ньютоновской механики и в честь которого в квантовой механике назван оператор энергии, он решил найти обобщение… Читать дальше »

Теория групп 9 — Комплексные числа и группа U(1)

Июнь 14, 2019

Открытие комплексных чисел многими считается моментом рождения современной математики. До этого считалось, что всю математику исследовали вдоль и поперек еще в античности. Ничего нового уже не будет. Как же они ошибались. С этого момента математика начала развиваться по экспоненте. По комплексной экспоненте, которую мы и рассмотрим в этом видео. По определению i2=-1. Леонард Эйлер изучая… Читать дальше »

Теория групп 8 — Группа Лоренца и специальная теория относительности

Июнь 14, 2019

Элементы групп Ли всегда можно найти матричным экспоненцированием генераторов групп Ли. Сами элементы можно рассматривать как операторы, действующие на векторы. Эти операторы при действии на вектор изменяют его. Но поскольку мы говорим про группы, то при действии элемента группы что-то должно остаться неизменным. В конечном счете группы ведь описывают симметрию объектов. Сгенерируем несколько точек на… Читать дальше »

Теория групп 7 — Группа трехмерных поворотов SO(3)

Май 30, 2019

По аналогии с группой поворотов на плоскости SO(2) можно построить группу поворотов в трехмерном пространстве. Она называется SO(3) – специальная ортогональная размерности 3. Инвариантной при операции группы будет уже сфера. Или, говоря на языке векторов, не будет меняться длина вектора, исходящего из начала координат. Группа SO(3) содержит ортогональные матрицы размером 3х3 с единичным детерминантом. Ортогональные… Читать дальше »

Теория групп 6 — Генераторы групп Ли

Май 30, 2019

Вернемся к группе SO(2) – группе поворотов на плоскости. Как мы видели, элементы группы можно представить квадратными матрицами. Зная угол альфа можно получить конкретный вид матрицы поворота, вычислив соответствующие синусы и косинусы. Идея, стоящая за понятием генератора группы следующая. Поворот на произвольный угол можно представить как последовательность поворотов на малый, бесконечно малый угол. То есть… Читать дальше »

Теория групп 5 — Группы Ли. Группа поворотов SO(2)

Май 14, 2019

В теории групп очень много интересных теорем и десятки терминов даже в рамках обычных дискретных групп: нормальная подгруппа, классы, факторгруппа и многое другое. Но мы сейчас не будем на них останавливаться, а сразу перейдем к так называемым группам Ли. Они получили широкое распространение в квантовых теориях. В предыдущих видео мы рассматривали группу D3 поворотов и… Читать дальше »