Раздел: Математика

Теория групп 5 — Группы Ли. Группа поворотов SO(2)

Май 14, 2019

В теории групп очень много интересных теорем и десятки терминов даже в рамках обычных дискретных групп: нормальная подгруппа, классы, факторгруппа и многое другое. Но мы сейчас не будем на них останавливаться, а сразу перейдем к так называемым группам Ли. Они получили широкое распространение в квантовых теориях. В предыдущих видео мы рассматривали группу D3 поворотов и… Читать дальше »

Теория групп 4 — Теория представлений групп

Май 6, 2019

Мы видели, что группа является довольно абстрактным математическим объектом. Операцией группы может быть что угодно: обычное умножение или сложение, поворот, инверсия… да что угодно. Элементами группы также могут быть абстрактные объекты вроде поворота на 240°. Но мы также видели, что иногда можно найти изоморфную группу в которой абстрактные операции исходной группы заменяются на более привычные… Читать дальше »

Теория групп 3 — Подгруппы. Абелевы и неабелевы группы. Спонтанное нарушение симметрии.

Май 3, 2019

Приведем еще раз таблицу умножения группы С3 – группы поворотов на 120 и 240°, оставляющей инвариантным равносторонний треугольник. Однако можно придумать и другие операции не изменяющие такой треугольник. Отражение относительно каждой из трех осей σ1, σ2 и σ3 также не меняет треугольник. Запишем таблицу умножения для всех шести преобразований. Мы видим, что при умножении получаем… Читать дальше »

Теория групп 2 — Изоморфизм

Май 3, 2019

Группы описывают симметрию объекта. Но как мы видели, определение группы довольно абстрактно и не привязано к геометрии. Под определение группы попадает, например, вот такая вещь.  Возьмем просто два числа: единицу и минус единицу. Таблица умножения для них имеет следующий вид. Можно убедиться, что эти два числа образуют группу. Операцией группы является простое умножение. Единичным элементом… Читать дальше »

Теория групп 1 — Определение группы

Апрель 18, 2019

Сложно переоценить значение теории групп для современных естественных наук. Приведем лишь один пример из физики. Оказывается каждому типу фундаментального взаимодействия соответствует своя группа.  Электромагнитным взаимодействиям соответствует группа с названием U(1). Слабым взаимодействиям, ответственным за ядерные распады, группа SU(2). Сильным взаимодействиям, удерживающим кварки в протонах и нейтронах соответствует SU(3). Удивительно, но свойства фундаментальных частиц и их… Читать дальше »

Математические открытия или изобретения? Связь математики с физикой.

Август 18, 2017

Роль математики в физике сложно переоценить. Известна цитата Галилео Галилея «Математика — это язык, на котором написана книга Природы». Но только ли языком является современная математика? Работа математиков заключается в нахождении новых математических объектов и исследовании их свойств и взаимосвязей. Со времен Галилея появилось множество новых разделов математики со своим языком для описания математических объектов.… Читать дальше »

Клеточные автоматы

Май 26, 2017

Клеточные автоматы представляют собой дискретные модели с некоторым набором правил для (дискретной) временной эволюции. Проще понять на конкретных примерах. Самые простые — это одномерные клеточные автоматы Стивена Вольфрама. Пространство разбивается на клетки. В случае одномерного автомата разбивается линия. В клетке может находится либо единица, либо ноль. 0 0 0 0 1 0 0 0 0… Читать дальше »

Фракталы из хаоса: chaos game

Май 8, 2017

Операции масштабирования и поворота (или более общие преобразования) можно использовать для генерации фрактальных структур довольно простым способом перемещая всего одну точку. Алгоритм достаточно прост: Генерируем случайные координаты x и y первой точки. Выбираем случайно какую из формул для нахождения координат следующей точки применить. Находим эти координаты. Применяем п.2 много раз. Например, для фрактала «Кривая дракона»… Читать дальше »

Как квадрат может быть окружностью: Манхэттенская метрика и метрика Чебышева

Март 23, 2017

Метрика ответственна за геометрию пространства. Геометрия это в первую очередь длины. По сути задание метрики сводится к заданию формулы вычисления длин. Сгенерируем несколько случайных точек на плоскости:   Расстояние от начала координат до точки можно найти из ее декартовых координат по теореме Пифагора: Данная формула и задает метрику Евклида. Она позволяет вычислять расстояния между точками.… Читать дальше »

Матрицы преобразований и их генераторы

Ноябрь 24, 2016

Не только операции дифференцирования и интегрирования можно представить в виде матриц. Более простые преобразования также представляются квадратными матрицами. Проще всего понять на графическом примере выполнения преобразований над точками на плоскости. Пусть на плоскости задана точка с декартовыми координатами, которые мы будем записывать в столбец: Умножая квадратную матрицу на этот вектор-столбец получим другой вектор-столбец с другими координатами: Элементы… Читать дальше »