Квантовая механика 51 — Матрица плотности

КМ можно рассматривать как некое обобщение теории вероятностей. Но в отличие от классической ТВ, возникающие случайности не являются следствием недостаточных знаний о системе. Они фундаментальны. У Природы имеется свой, идеальный ГСЧ.

Но классические вероятности тоже никто не отменял. Даже в случае КМ мы можем обладать неполным знанием о системе и нам изначально могут понадобиться вероятности.

Вернемся к эксперименту Штерна-Герлаха по определению спина электрона. Если мы будем пропускать электроны через прибор, ориентированный по оси z, то на выходе мы будем знать у каких электронов спин вверх по z, а у каких вниз.

Но как описать спин электрона до того как он прошел прибор? Скажем он изначально взялся из какой-нибудь электронно-лучевой трубки и его спин еще не измерялся. Он абсолютно случаен и равновероятно при измерении получить как вверх так и вниз. Причем по любому направлению оси прибора ШГ. Говорят, что такой электронный луч не поляризован.

Может показаться, что его можно описать суперпозицией:

Если взять амплитуды вероятности равными 1/sqrt2 то вероятности получить спин вверх и спин вниз будут ½, как раз 50%.

 Но на самом деле мы не можем описывать исходное состояние спина таким вектором. В 11 части мы видели что данный вектор это собственный вектор матрицы Паули сигма x с собственным значением +1. То есть он соответствует спину вверх по оси х. Это значит, что если предположить, что спин изначально описывается данным вектором, то повернув прибор на 90 градусов ориентируя его по оси x, все электроны отклонятся вверх. Но мы считаем, что луч не поляризован и спин изначально случаен относительно любой оси. Нам нужна классическая неопределенность, а не квантовая суперпозиция.

Джон фон Нейман на заре становления КМ в 1927 г еще задолго до появления формализма бра- и кет- векторов разработал соответствующий математический аппарат.

Давайте для начала рассмотрим немного упрощенную задачу. Пусть прибор ШГ ориентирован по оси z. Мы пропускаем электроны из электронно-лучевой трубки через прибор и они равновероятно отклоняются вверх и вниз. Теперь по отклонению мы знаем у кого спин вверх по z, а у кого вниз. Но давайте соберем опять эти два пучка в один. Мы теперь знаем что спин конкретного электрона либо вверх либо вниз по z, но они перемешались и мы не знаем как именно ориентирован спин конкретного электрона. Нам нужно описание в терминах классических вероятностей.

Давайте вспомним про операторы проекции. Операторы проекции это эрмитовы операторы, которым можно сопоставить вопрос, ответ на который будет да или нет. Мы говорили про них в 22 части. Это просто произведение кет-вектора на бра-вектор.

В нашем случае первый вопрос звучит так: «отклонится ли электрон вверх по оси z» и ему соответствует следующий оператор проекции. А второй вопрос «отклонится ли электрон вниз по оси z» и ему соответствует такой оператор. Если сложить эти две альтернативы с соответствующими коэффициентами, то получим так называемую матрицу плотности. Она обычно обозначается буквой ро и является математическим описанием такой ситуации.

Давайте найдем явный вид матрицы плотности для нашего случая. То есть что с 50%-й вероятностью спин вверх по z и с 50%-й что вниз.

Матрица плотности является обобщением векторов состояния или волновой функции. Она учитывает не только квантовые суперпозиции, но и классические вероятности. Коэффициенты «p вниз» и «р вверх» это просто классические вероятности. Это не амплитуды, а именно вероятности. Они не обязаны всегда быть 50%, но в сумме все альтернативы должны давать 100%.

Однако матрица плотности учитывает и амплитуды. Например можно взять вектор состояния в виде суперпозиции. В случае такого вектора при измерении спина по оси z также получим 50% что электрон отклонится вверх и 50% что вниз. Но если найти соответствующую матрицу плотности, то она окажется отличной от полученной нами для классической суммы вероятностей. Квантовая суперпозиция это не классические вероятности.

Давайте также найдем явный вид матрицы плотности для равновероятного обнаружения спина вверх по x и вниз по x.

Заметьте, что в формуле присутствуют как классические вероятности так и квантовые амплитуды. Кстати, мы получили ту же матрицу, что и для комбинации спинов по оси z. Но матрица плотности — это обобщение векторов состояния. Она является наиболее полным описанием квантовой системы. Из нее можно получить все предсказания относительно будущих экспериментов.

 И поскольку матрицы плотности получились одинаковыми эти ситуации физически неразличимы. Ситуация эквивалентна если бы мы сначала разделили электроны на два пучка при ориентации прибора ШГ по оси x, а потом собрали бы их вместе.

Более того. Допустим все же пучки получались при ориентации прибора по z и один наблюдатель описывает ситуацию в терминах векторов состояния вверх и вниз по z. Но другой наблюдатель имеет право описывать ту же самую систему в терминах векторов вверх и вниз по x. Вот вам еще один пример субъективности векторов состояния и волновых функций.

Вы можете возразить, что на самом деле правильнее описывать систему в терминах векторов вверх и вниз по z если прибор был ориентирован по z и второй наблюдатель не прав. Но с учетом запутанности могут возникать такие ситуации, когда вообще некорректно предполагать, что спин изначально ориентирован по какой-то оси и тогда все описания с различными векторами состояния, но единой матрицей плотности эквивалентны.

Но в нашем случае первый наблюдатель может сказать второму, что он не прав. Он скажет – я знаю точно, что систему надо описывать в терминах векторов вверх по z поскольку я ориентировал прибор по z и спины сейчас либо вверх либо вниз по z. ОК скажет второй. Он возьмет и поменяет свой вектор состояния на векторы вверх и вниз по z. Сторонники объективного существования волновой функции должны сказать, что раз вектор поменялся, то значит физически что-то произошло. Но нет, второй наблюдатель просто обновил свои знания о системе. Физически ничего не произошло поскольку матрица плотности при этом не изменилась. Это очень схоже с коллапсом вектора состояния, которое также является простым обновлением знаний наблюдателя при получении им новой информации.

И напоследок немного терминологии. Такие состояния с классическими неопределенностями называются смешанными состояниями. Если в матрице плотности только одно слагаемое, то она становится просто оператором проекции и систему можно описывать вектором состояния как мы до этого и делали. Такие состояния называются чистыми.

Может показаться, что для описания спина электрона, вылетевшего из ЭЛТ в формуле для матрицы плотности будет слагаемое что спин направлен вверх по z, слагаемое вверх по x, слагаемое вверх по y и еще бесконечность других слагаемых, соответствующих всем промежуточным осям. На самом деле любую матрицу плотности смешенного состояния кубита можно разложить на сумму всего трех слагаемых. И три действительных числа полностью его характеризуют.

Это отражает тот факт, что спин — это не классический вектор. В общем случае его нельзя представить как всегда направленным в какое-то направление пусть даже мы не знаем в какое.