Относительность 17 — Связность
Нам надо перейти к рассмотрению производных, потому что без них в физике никак.
Если мы возьмем какое-нибудь скалярное поле фи (температурное поле, например), мы можем найти его градиент, взяв частные производные. Для начала будем иметь в виду обычное пространство с тремя координатами x y z. Градиент – это вектор, координаты которого – его частные производные.
Мы можем переписать то же самое в индексном обозначении.
Заметьте, что х-это вектор потому что индекс стоит сверху. Но dx стоит в знаменателе и результирующий объект имеет нижний индекс. Получается что градиент является дуальным вектором.
Заметьте также, что производная повысила ранг. У скалярного поля не было индекса, а у результирующего объекта появился один индекс.
Нам надо обобщить данную формулу на искривленные пространства.
Попробуем взять производную от вектора
Несмотря на то, что объект имеет два индекса, он не является тензором. Выражение не учитывает выбранную систему координат. За индексами может скрываться как декартова система координат и индекс будет пробегать x y z. А может и сферическая где индекс скрывает радиус и два угла. Но производная по х не то же самое, что производная по радиусу. А производная по y не то же самое, что по углу. К тому же не учитывается возможная кривизна пространства.
В общем это не тензор. Однако мы хотим иметь производную, которая бы в результате все же давала тензор. Такая производная называется ковариантной производной и обозначается символом набла с индексом.
Мы не можем его определить просто как частную производную, потому что она не тензор. Но мы можем постулировать, что если прибавить еще одно слагаемое, которое также не является тензором, то в результате при определенных условиях мы все же можем получить тензор.
Умножаемый на вектор коэффициент Г называется связностью или символами Кристоффеля.
Несмотря на то, что связность имеет 3 индекса, она как я сказал не является тензором. Логика такова. Слева равенства у нас тензор. Первое слагаемое с частной производной как мы видели – не тензор. Поэтому если бы Г был тензором, то прибавив тензор к не тензору мы бы не получили тензор. Поэтому связность не может быть тензором. Это поправка к частной производной вектора, которая делает из не-тензора тензор.
Заметьте, что по индексу лямбда идет свертка с вектором. Индекс мю соответствует индексу ковариантной производной. То есть для каждого индекса ковариантной производной, скажем x y z, идет своя матрица связности (индексы ню и лямбда).
Эта матрица умножается на вектор, дает в результате другой вектор и этот вектор прибавляется к вектору частной производной, корректирует его таким образом, чтобы результат стал тензором.
То есть символы Кристоффеля можно представлять тремя матрицами 3х3 в случае евклидового пространства или четырьмя матрицами 4х4 в ОТО. А можно как просто объект с тремя индексами. Проверьте, что по индексам все совпадает. Связность должна иметь 3 индекса чтобы иметь возможность быть умноженной на вектор и потом сложиться с первым слагаемым.
Не буду приводить вывод, но для дуального вектора получается, что знак + в определении ковариантной производной надо поменять на -.
Но данное определение связности для нас будет что-то значить только если мы найдем ее явный вид через метрику. Опять же не буду приводить всякие выкладки, но из различных требований типа линейности и выполнения правила Лейбница следует, что ковариантная производная метрики должна быть равна нулю.
А уже из этого требования несложно найти и вид связности через метрику. Вывод приводится в любом учебнике.
Надо расписать ковариантную производную метрики через ее определение. Сделать то же самое для других комбинаций индексов и решить систему относительно Г.
Вот результат. Довольно сложное выражение, содержащее метрику и ее производные. Формула является одной из самых важных в ОТО и студентов обычно заставляют выучить ее наизусть.
Связность важна потому что появляется в уравнении геодезической и в выражении тензора кривизны Римана.
Математики даже могут сказать, что она более важна, чем сама метрика, поскольку существуют пространства в которых связность не выражается через метрику. Но такие не используются в ОТО.
