Теория групп 15 — Идея локальной калибровочной инвариантности

Для перехода от глобальной калибровочной инвариантности к локальной необходимо позволить параметру группы Ли быть разным в разных точках пространства. Так если мы говорим о группе U(1), то угол α в экспоненте становится функцией от координаты х.

Продолжим разговор про U(1)-инвариантность в квантовой механике. В предыдущем видео мы говорили, что квадрат абсолютного значения волновой функции равен распределению вероятностей, которое не меняется при глобальных преобразованиях группы U(1). С первого взгляда кажется, что и при локальных калибровочных преобразованиях экспоненты уйдут и вероятности не изменятся.

Однако это не так. Волновая функция изменяется со временем. Ее изменение описывается уравнением Шредингера. В случае глобальных калибровочных преобразований само уравнение не изменится. Происходит только сдвиг начальной фазы волновой функции. Но в случае локальных калибровочных преобразований это не так.

В уравнении Шредингера стоят производные по координатам. А если у нас в экспоненте функция от координаты, то саму экспоненту надо дифференцировать по правилу сложной функции. В итоге добавляется член с производной от функции α(х), который никак сам по себе не убирается. Уравнение даст другое решение, зависящее от этой произвольной функции α(х). То есть уравнение Шредингера не инвариантно относительно локальных калибровочных преобразований группы U(1).

Вроде бы логично. Странно предполагать, что решение уравнения не изменится, если в него добавить другую произвольную функцию. Если мы будем произвольно менять потенциалы электрической цепи, то напряжения также будут меняться. Напряжения не инвариантны относительно произвольных изменений потенциалов.

Но все-таки под калибровочными теориями сейчас понимаются теории, которые инвариантны относительно локальных калибровочных преобразований.

Основная идея калибровочных теорий такая. Пусть у нас имеется уравнение, инвариантное относительно глобальных преобразований какой-то группы. При переходе к локальным калибровочным преобразованиям уравнение изменяется и становится не инвариантным. Модифицируйте это уравнение, так чтобы оно опять стало инвариантным.

Оказывается, что так можно сделать, но только добавив в уравнение дополнительные функции, которые сами по себе не наблюдаемы и у которых есть дополнительная свобода в определении. Эти функции называются калибровочными полями. Потенциалы о которых мы говорили в предыдущем видео подходят на эту роль.

Если добавить в уравнение Шредингера калибровочное поле A и задать для него правило преобразования, которое и будет компенсировать ненужные появляющиеся члены, то уравнение будет инвариантным при локальных калибровочных преобразованиях группы. Но как видим ценой добавления калибровочного поля с определенным правилом калибровочного преобразования.

Можно даже потребовать, чтобы при переходе к локальным преобразованиям функция произвольно менялась не только от координаты, но и от времени. Чтобы уравнение Шредингера было инвариантным и в этом случае приходится вводить помимо векторного потенциала А еще и скалярный потенциал φ. И задавать для него правила преобразования.

Но если мы посмотрим на то что получилось, то увидим скалярный и векторный потенциалы классической электродинамики. Как мы говорили, они не наблюдаемы. К векторному потенциалу можно прибавить градиент любой скалярной функции, а к скалярному – производную по времени от этой скалярной функции. Наблюдаемые электрические и магнитные поля E и B от этого не изменятся. Но если ту же самую скалярную функцию использовать в локальных калибровочных преобразованиях в качестве параметра группы, то и само уравнение Шредингера окажется инвариантным.

Ценность всей этой сложной процедуры заключается вот в чем. Мы начали с обычного уравнения Шредингера, описывающего электрон, а закончили уравнением, описывающим помимо электрона еще и электромагнитное поле, обусловленное наличием электрического заряда у этого самого электрона.

И вид этого поля, и то как оно взаимодействует с электроном полностью определяется калибровочным принципом – требованием инвариантности относительно локальных калибровочных преобразований группы U(1).

Калибровочный принцип оказывается чрезвычайно универсален. Он работает даже в релятивистских квантовых теориях поля. Сама группа во многом определяет и свойства частиц материи – фермионов. И свойства переносчиков взаимодействия – калибровочных бозонов, которые получаются при квантовании этих появляющихся калибровочных полей. И взаимодействие материи с переносчиками взаимодействия – калибровочными бозонами. Фотон – это калибровочный бозон электромагнитного поля.

Можно обобщить и далее эту идею калибровочной инвариантности. А есть ли в природе уравнения инвариантные относительно каких-то других групп, а не U(1). Уравнения, описывающие поведение каких-то других частиц, не электронов. И оказывается, что да есть. Кварки, составляющие протонов и нейтронов инвариантны относительно группы SU(3).

Удивительно, но структура абстрактных математических групп оказывается имеет отношение к миру в котором мы живем. Поскольку матрицы группы SU(3) размером 3х3, то инвариантным относительно действия группы может быть только трехкомпонентная функция. И действительно, кварки описываются трехкомпонентной функцией. У кварков не один, а три разных заряда, называемых цветовыми зарядами. В отличие от единственного электрического заряда группы U(1).

Мы видели, что переход от глобальной к локальной калибровочной инвариантности осуществляется путем превращения параметра группы в функцию. А она затем приводит к необходимости введения калибровочного поля. Но у группы Ли столько параметров сколько генераторов. У группы U(1) один параметр и поэтому электромагнитное поле одно и квант его, соответственно один – фотон. Но у группы SU(3) восемь генераторов. И именно поэтому мы имеем 8 полей и 8 глюонов —  квантов полей. Калибровочных бозонов, переносчиков сильного взаимодействия в случае группы SU(3).

Группа U(1) абелева и поэтому сам фотон не обладает электрическим зарядом. Но группа SU(3) неабелева, поэтому глюоны сами обладают цветовым зарядом. Из-за этого электромагнетизм так не похож на сильные взаимодействия. Поэтому кварки удерживаются глюонами внутри нейтронов и протонов и не встречаются в свободном виде.

В том же свете можно говорить и о слабых взаимодействиях, описываемых группой SU(2). Генераторов у группы SU(2) три, как мы видели в 11 части. Соответственно переносчиков взаимодействия, калибровочных бозонов, должно быть три. И действительно их три: W+, W- и Z бозоны.

Фактически вся структура элементарных частиц и их взаимодействий, то что называется «Стандартная модель» определяется калибровочными группами. Стандартная модель определяется произведением трех групп U(1)xSU(2)xSU(3).

Существование бозона Хиггса также следует из калибровочного принципа. Если искусственно вводить массу в уравнения релятивистских полей, то они оказываются не инвариантны при локальных калибровочных преобразованиях. Только безмассовые калибровочные поля инвариантны. Но калибровочный принцип настолько фундаментален, что вместо того чтобы отказаться от него как вроде бы противоречащий эксперименту, ученые стали искать другое объяснение наблюдаемым массам частиц. И механизм Хиггса является таким объяснением. Квант поля Хиггса – бозон Хиггса был экспериментально обнаружен на большом адронном коллайдере.

Можно целые теории пытаться строить изначально исходя из какой-то группы. Произведение трех групп U(1)xSU(2)xSU(3) Стандартной модели как-то не очень красиво смотрится. Может быть фундаментальна какая-то более общая группа в которой U(1), SU(2) и SU(3) входят как подгруппы.

Теории великого объединения (Grand Unified Theory) пытаются строить на именно из таких соображений. В качестве кандидатов исследуются группы SU(5), SО(10) и другие.

В общем все квантовые теория поля, которые мы сейчас имеем —  калибровочные. Детали всего этого чрезвычайно сложны. Получено несколько нобелевских премий за развитие таких идей.

Удивительно, что понятие симметрий и их математического описания в рамках теории групп находит такое непосредственное и нетривиальное воплощение в окружающем нас мире.