Теория групп 18 — Представления алгебры Лоренца

Давайте теперь перейдем к группе Лоренца SO(1,3). Это группа, описывающая симметрии пространства-времени СТО – пространства Минковского. Группа поворотов в обычном трехмерном пространстве является подгруппой группы Лоренца. Соответственно помимо трех генераторов поворотов имеется еще три генератора Лоренцевых бустов. Они ответственны за все релятивистские эффекты замедления времени и сокращения расстояний. В 8 части мы говорили, что их можно мыслить как генераторы поворотов в плоскостях tx ty и tz.

Давайте немного сменим обозначения. В физической литературе эти генераторы отличаются от математической литературы на множитель i. Вместо единиц в матрицах генераторов стоят мнимые единицы. Дело в том, что физики выносят мнимую единицу явно в показатель экспоненты. То есть элемент группы равен exp(i умножить на матрицу генератора). Поэтому в  самих матрицах генераторов тоже мнимые единицы вместо обычных единиц появляются. Они потом уходят потомучто i2 = -1. Да, и знак минус тоже в разной литературе то появляется, то исчезает. Это связано с рассмотрением активных или пассивных поворотов. Фактически по- или против часовой стрелки.

В общем, как говорил известный физик Сидни Коулман: «В моих лекциях 1=-1=i=-i»

Итак, давайте обозначим три генератора поворотов за J1 J2 и J3 в соответствии с обозначениями предыдущего видео. Три генератора бустов обозначим К1, К2 и К3.

Генераторы группы Ли формируют алгебру Ли. То есть мы можем рассмотреть коммутаторы различных генераторов.

…..

Теперь попробуем сделать то же самое, что мы делали с алгеброй su(2) – использовать процедуру комплексификации.

Определим новые операторы N+ как ½(J+iK). Их получится 3 в соответствии с тремя бустами и тремя поворотами.

Также зададим три матрицы N-  равные ½(J-iK)

Теперь интересно исследовать их коммутаторы.

…

Получается, что комплексификация алгебры so(1,3) состоит из двух алгебр su(2).

Для нас это полезно тем, что мы из предыдущего видео знаем, что представления алгебр su(2) можно классифицировать метками спина j=0 j=1/2 j=1 j=3/2 и т.д.

Получается представления алгебры группы Лоренца можно описать двумя такими метками. На вики приведена табличка где эти две метки обозначены (n, m). Первая метка n относится к первой алгебре su(2) генераторов N+, а вторая m ко второму экземпляру su(2) генераторов N-.

Видно, что благодаря такому подходу можно получить разные представления группы Лоренца: скаляр, спиноры Вейля, 4-векторы и много чего еще.

Да, и в силу некоторых математических нюансов, которые я опустил, экспоненцируя данные генераторы мы на самом деле получим не элементы группы Лоренца, а элементы группы ее двойного покрытия SL(2, C) о которой мы говорили в 13 части. Но это и к лучшему. Являясь двойным покрытием с математической точки зрения данная группа более фундаментальна, чем сама группа Лоренца.