Теория групп 5 — Группы Ли. Группа поворотов SO(2)
В теории групп очень много интересных теорем и десятки терминов даже в рамках обычных дискретных групп: нормальная подгруппа, классы, факторгруппа и многое другое. Но мы сейчас не будем на них останавливаться, а сразу перейдем к так называемым группам Ли. Они получили широкое распространение в квантовых теориях.
В предыдущих видео мы рассматривали группу D3 поворотов и отражений, оставляющих инвариантным равносторонний треугольник. Если взять квадрат, то его можно повернуть на 4 разных угла и отразить относительно четырех осей, оставив неизменным. Его группой симметрий будет D4. Для пятиугольника пять поворотов и пять симметрий. Ну и так далее. Для правильного n-угольника группой симметрии будет Dn с n поворотами и n отражениями. Если устремить n к бесконечности получим просто окружность, которая инвариантна относительно поворота на любой угол.
Мы теперь не можем перечислить все элементы группы потому что их бесконечно много. Но мы можем параметризировать элемент группы одним числом — углом поворота. Обозначим элемент группы Rα. Такие группы с непрерывным переходом от одного элемента к другому называются группами Ли в честь математика Софуса Ли.
Можно убедиться, что мы на самом деле имеем группу. Поворот на 0° R0 является единичным элементом. Обратным элементом к Rα является элемент R2π-α.
А как же на счет теории представлений? Можно ли представить элементы групп Ли матрицами. Оказывается можно. Вот такая вот матрица является представлением элементов Rα группы поворотов на угол α. Можно убедиться, что приводимые нами ранее матрицы поворотов на 120 и 240° есть лишь частные случаи данной матрицы.
Эту матрицу также можно рассматривать как оператор, действующий на вектор. Умножение матрицы на декартовы координаты вектора дает вектор, повернутый на угол α. Можно также убедиться, что обратная матрица будет равна такой же матрице только с углами 2π-α или просто -α.
Данная группа называется SO(2). Специальная ортогональная группа размерности 2. Специальная значит детерминант матрицы равен 1. Ортогональная, значит для матрицы выполняется условие, что исходная матрица, умноженная на транспонированную, дает единичную матрицу. Или что то же самое: транспонированная матрица равна обратной матрице. Данная матрица обычно просто называется матрицей поворота.
Группа SO(2) абелева поскольку без разницы в какой очередности выполнять повороты на плоскости.
Приведем еще один пример группы Ли. Возьмем двумерную диагональную матрицу, где параметр M может плавно меняться в диапазоне от нуля до бесконечности. Понять какую операцию выполняет данная матрица можно опять же подействовав ею на вектор.
Возьмем параметр М=2 и вектор с координатами [1,1]. Помножив получим вектор с координатами [2, 2]. Длина вектора увеличилась в 2 раза, а его направление не поменялось. Данная матрица выполняет операцию масштабирования. Если М больше нуля, но меньше единицы, то будет уменьшение. При М>1 получим увеличение.
Обратной матрицей будет матрица с элементами 1/М. Заметьте также, что мы можем вынести параметр М из матрицы. Тогда мы получим матрицу не зависящую ни от каких параметров. Эта матрица называется генератором группы. Она содержит информацию об операции группы, но не привязана к конкретным элементам группы, зависящим от параметра.
Заметьте, что мы не можем просто так вынести угол α из матрицы поворота группы SO(2). На самом деле его все-таки можно вынести и получить генератор группы, но как именно рассмотрим в следующем видео.
А напоследок покажу программу, которую я написал еще в незапамятные времена. Тут на случайно сгенерированные точки одновременно действуют матрицы поворота и масштабирования.
