Теория групп 6 — Генераторы групп Ли

Вернемся к группе SO(2) – группе поворотов на плоскости. Как мы видели, элементы группы можно представить квадратными матрицами. Зная угол альфа можно получить конкретный вид матрицы поворота, вычислив соответствующие синусы и косинусы.

Идея, стоящая за понятием генератора группы следующая. Поворот на произвольный угол можно представить как последовательность поворотов на малый, бесконечно малый угол. То есть если мы знаем оператор, осуществляющий поворот на бесконечно малый угол, то используя его можно найти оператор поворота на произвольный угол, то есть элемент группы. Этот оператор, поворачивающий на бесконечно малый угол и называется генератором. Его матрица уже не будет зависеть от угла альфа, а будет содержать просто числа.  Давайте найдем явный вид генератора группы SO(2).

Матрица оператора поворота на ноль градусов равна единичной матрице, поскольку ничего не делает. Это единичный элемент группы. Чем меньший угол поворота мы берем, тем меньше матрица оператора поворота будет отличаться от единичной матрицы, которая ничего не делает с вектором.

То есть для малого угла Δα оператор поворота можно представить как единичная матрица плюс матрица, пропорциональная этому Δα. Тогда при     Δα->0 мы как раз получим единичную матрицу. Эта матрица как раз и называется генератором группы. Она осуществляет поворот на бесконечно-малый угол Δα.

Чтобы повернуть на угол α+Δα нужно сначала повернуть на α, а потом на Δα. Порядок обратный потому что вектор-столбец на который умножаются матрицы должен стоять справа.

Подставим определение R_Δα через матрицу генератора. Раскроем скобки. Сгруппируем немного по-другому слагаемые. Теперь выражение в левой части равенства теперь что-то смутно напоминает.

Если перейти к пределу Δα->0, то видим школьное определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента. Мы получили дифференциальное уравнение для элемента группы R_α. Уравнение очень простое: производная функции пропорциональна самой функции. Его решение — это просто экспонента. Мы получили формулу, позволяющую из матрицы генератора и угла α получить матрицу элемента группы R_α. 

Да, надо взять экспоненту от матрицы, но математики и все математические пакеты умеют это делать.

Те из вас кто смотрел цикл видео по квантовой механике, наверное заметили, что вывод очень напоминает вывод уравнения Шредингера из свойств оператора эволюции во времени, приводимый в 41 части. На самом деле вывод не просто похож, а идентичен. Просто там вместо оператора поворота R был оператор эволюции во времени. А генератором служил оператор Гамильтона, а вместо угла α было время t. Получившееся дифференциальное уравнение именовалось уравнением Шредингера. А экспонента связывала оператор эволюции во времени с оператором Гамильтона. Именно поэтому Гамильтониан называют генератором временной эволюции квантовой системы.

Аналогичным образом в 45 части мы получили оператор импульса, который на языке теории групп является генератором операции сдвига, трансляции системы. Физики правда еще выносят мнимую единицу из матриц генераторов, но это просто соглашение.

Такая аналогия получается потому, что приведенный вывод справедлив для всех групп Ли. Экспонента в группах Ли всегда связывает генераторы с элементами группы.

Но вернемся к нашей группе поворотов SO(2). У нас получилась обратная задача. Нам известен вид матриц элементов группы R_α, но мы пока не знаем вид матрицы генератора. Не будем логарифмировать, а лучше посмотрим еще раз на дифференциальное уравнение. Справа стоит генератор, умножаемый на элемент группы. Но мы знаем, что при α=0 элемент становится единичной матрицей. Тогда получается, что генератор равен производной от элемента группы при нулевом значении параметра.

Элементы R_α группы SO(2) представляются матрицей с синусами и косинусами. Возьмем производную. При α=0 синусы и косинусы перейдут в нули и единицы. Это и есть матрица генератора группы SO(2).

Можно записать матричную форму нашего дифференциального уравнения. Матрица производной элемента группы равна матрице генератора группы, умноженной на матрицу элемента группы.

Как мы видим, матрица генератора намного проще матрицы самого элемента. Она не содержит никаких функций, да и самого угла α. Между тем она позволяет найти матрицу поворота для любого угла α простым экспоненцированием. Теперь мы можем повернуть вектор на угол α не прибегая ни к каким тригонометрическим функциям.

Конечно они неявно содержатся в экспоненте, ведь по формуле Эйлера   

Может физики и правильно делают, что выносят мнимую единицу из матрицы генератора.

Генераторы группы многое могут сказать о самой группе, но с ними проще работать, чем с самими элементами поскольку их матрицы имеют простой вид. Так генератор для приведенной в предыдущем видео группы масштабирования имеет вид единичной матрицы. При экспоненцировании такой диагональной матрицы просто получим матрицу с экспонентами по диагонали. Теперь мы видим, что масштабный множитель М на самом деле правильнее записать как экспоненту от параметра группы m. При положительном m получим увеличение, при отрицательном – уменьшение.