Теория групп 8 — Группа Лоренца и специальная теория относительности

Элементы групп Ли всегда можно найти матричным экспоненцированием генераторов групп Ли. Сами элементы можно рассматривать как операторы, действующие на векторы. Эти операторы при действии на вектор изменяют его. Но поскольку мы говорим про группы, то при действии элемента группы что-то должно остаться неизменным. В конечном счете группы ведь описывают симметрию объектов.

Сгенерируем несколько точек на плоскости со случайными координатами x y. Зададим генератор в виде единичной матрицы. Как мы видели в пятой и шестой частях, такой генератор при экспоненцировании даст оператор масштабирования. И действительно если подействовать им на вектор-столбец декартовых координат точек, получим их разбегание, обусловленное увеличением масштаба, приближением.

Если параметр будет отрицательным, получим движение в противоположную сторону – уменьшение. Что же остается неизменным при действии элемента группы масштабирования? Видно, что неизменными остаются углы, то есть направления векторов, исходящих из начала координат.

Поменяем матрицу генератора на генератор группы SO(2) поворотов на плоскости. Как и следовало ожидать точки будут двигаться по окружностям. Поменяв знак у параметра получим движение в противоположную сторону. Нетрудно видеть, что при действии элемента данной группы неизменным остается длина вектора, исходящего из начала координат.

Можно еще немного поэкспериментировать с матрицей генератора. Попробуем убрать знак минус у минус единицы в генераторе. Запустим программу. Точки движутся по гиперболам.

Так происходит потому, что если аналитически найти матрицу, получающуюся экспоненцированием такого генератора, то там будут гиперболические синусы и косинусы.

Такая матрица является представлением группы, называемой группой Лоренца. А ее действие на вектор соответствует известному в физике  преобразованию Лоренца из специальной теории относительности и называется бустом.

Вам, наверное, более знакомы преобразования Лоренца, записанные в другом виде. В виде выражения, связывающего координаты t x неподвижной и движущейся систем. Если записать координаты t x в вектор-столбец, то эти две формулы можно записать в виде одного матричного выражения. Действие матрицы переводит нештрихованные координаты в штрихованные.

На первый взгляд данная матрица не имеет ничего общего с гиперболическими синусами и косинусами. Но на самом деле эти две матрицы эквивалентны. Угол поворота связан со скоростью инерциальной системы отсчета функцией гиперболического арктангенса.

 Изначальный вид преобразований Лоренца выглядит намного проще полученных нами матриц с гиперболическими синусами и косинусами. Но наш подход наглядно демонстрирует универсальность математического аппарата теории групп. А через него и единство таких казалось бы разных физических явлений.

Преобразования Лоренца оказывается отличаются от обычных поворотов всего лишь знаком минус в генераторе. Но с физической точки зрения их надо уже рассматривать действующими не на пространственные координаты [x y], а на координаты [t x] – время и одну пространственную координату. То есть они описывают поворот в плоскости t-x в отличие от обычного поворота в плоскости x-y.

Но что же остается неизменным при действии элемента группы Лоренца? Можно убедиться, что величина s²=–t²+x² не меняется. То есть в отличие от обычного квадрата длины вектора квадрат первой координаты идет со знаком минус. В конечном счете он появляется из-за того, что мы поменяли знак в генераторе. Это как раз уравнение гиперболы.

Данную величину также называют квадратом длины вектора или пространственно-временным интервалом. Но этот вектор живет уже не в привычном нам евклидовом пространстве, а в так называемом пространстве Минковского.

В пространстве Минковского квадрат длины вектора находится немного по-другому. Между транспонированным вектором и исходным еще вставляется матрица, называемая метрикой Минковского. В случае евклидового пространства метрика равна единичной матрице и ее обычно не пишут. Но измененный нами знак в генераторе меняет знак у первой координаты в метрике.

Заметьте, что квадрат длины вектора в пространстве Минковского может быть отрицательным. Или нулевым даже при ненулевых значениях координат вектора.

Что же физически означают получающиеся гиперболы? Действие элемента буста группы Лоренца приводит к изменению скорости, переходу к движущейся системе отсчета. Повторные применения приводят ко все большему увеличению скорости. Движение с возрастающей скоростью это движение с ускорением. Гипербола описывает траекторию наблюдателя, движущегося с ускорением.

Видим, что сколько бы он ни ускорялся, он никогда не превысит скорость света. Линия x=t на графике, под углом 45 градусов как раз соответствует траектории движения светового луча. Мы ведь работаем в единицах измерения, когда скорость света равна единице. Ускоренный наблюдатель будет ассимптотически приближаться к скорости света, но никогда не достигнет ее. Его траектория в пространстве-времени не может изгибаться более чем на 45°.

Вообще две точки пространства-времени могут быть соединены отрезком под углом и более 45°, но такие события не связаны причинно-следственной связью. Такой интервал в теории относительности называется пространственноподобным (spacelike). Интервал, которому может соответствовать траектория называется времениподобным (timelike). Они отличаются знаком квадрата длины вектора. Для света квадрат длины всегда нулевой и интервал называется светоподобным (lightlike). В общем всю специальную теорию относительности в том числе эффекты замедления времени и сокращения расстояний можно получить изучая геометрию пространства Минковского и действие элементов группы Лоренца на векторы.

Если учитывать еще и координаты y z, то вектор получится четырехмерным. Он живет в четырехмерном пространстве Минковского специальной теории относительности. Матричные представления элементов группы Лоренца будут уже размером 4х4. Группа Лоренца состоит из трех бустов – преобразований при переходе к движущейся системе отсчета по осям x y z. И трех поворотов в плоскостях x-y, x-z и y-z. То есть группа SO(3) является подгруппой группы Лоренца. Это можно видеть, поскольку блоки 3х3 координат x y z образуют матрицы, рассмотренные в предыдущем видео. Бусты Лоренца можно рассматривать как повороты в плоскостях t-x, t-y и t-z.

Можно найти генераторы группы Лоренца взяв производные и приравняв параметр нулю. Группа Лоренца имеет обозначение SO(1,3). 1,3 значит, что один элемент отличается от трех других противоположным знаком в метрике.

Элементы группы Лоренца также находятся матричным экспоненцированием генераторов группы. Удивительно, что одна и та же математика встречается в самых разных областях: компьютерная графика, квантовая механика, а теперь и теория относительности.