Удивительная история предсказания антиматерии #2

В 1928 Дираку было 25 лет. К этому времени было известно уравнение Шредингера – квантовое нерелятивистское уравнение электрона. Также было известно его обобщение – уравнение Паули. Оно позволяло учитывать спин электрона, но оно тоже нерелятивистское. Еще существовало уравнение Клейна-Гордона. Оно было релятивистским, но давало неверные предсказания для атомов. То есть оно не описывало электрон.

Над задачей получения квантового релятивистского уравнения для электрона в то время работали многие физики. Подружить принципы СТО и КМ считалось трудной задачей.

В феврале 1928 года выходит знаменитая работа Пола Дирака: Квантовая теория электрона.

Как же рассуждал Дирак на своем пути к знаменитому уравнению? Из СТО была известна формула, связывающая энергию, массу и импульс. Это обобщение формулы E=mc2 для ненулевого импульса. КМ нам говорит, что энергию и импульс надо заменить операторами.

Если мы это сделаем, то получим вот такое уравнение:

Оператор Лапласа скрывает вторую производную по координате.

Уравнение плохо тем, что пространство и время входят в него не равноправным образом, что не согласуется с идеологией ТО. Слева стоит первая производная по времени, а справа вторая производной по координате, да еще и под знаком корня.

Как перейти к единообразному появлению в уравнении координаты и времени? Можно умножить уравнение само на себя. Тогда корень уйдет а слева будет уже вторая производная по времени. Это и есть уравнение Клейна-Гордона. Но как мы знаем оно не описывает электрон.

Шредингер получил этот результат, но не смог продвинуться дальше. В конечном счете он взял нерелятивистскую формулу для энергии:

E=mv2/2+V или через импульс E=p2/2m + V

Заменив энергию и импульс операторами он получил свое знаменитое нерелятивистское уравнение.

Но Дирак был гением среди гениев. Он захотел извлечь квадратный корень из уравнения Клейна-Гордона. Он хотел чтобы и производная по времени и производная по координате были первого порядка и без всяких корней или квадратов. Он записал:

E=c*a*p+b*mc2

Из ТО мы знаем, что энергия равна импульс, умноженный на скорость света – это первое слагаемое. Коэффициенты альфа безразмерные и их на самом деле три, каждый умножается на компоненту импульса x y z. И второе слагаемое E=mc2 – энергия покоя. Коэффициент бета тоже безразмерный.

Дирак далее также заменяет энергию и импульс операторами. Теперь он требует, чтобы при возведении в квадрат, то есть умножении на себя, его уравнение давало уравнение Клейна-Гордона. Из этого требования он получает, что для коэффициентов альфа и бета должны выполняться следующие соотношения.

Видно, что если альфы и бета это простые числа, то соотношения не реализуемы. Например, ab+ba=0 значит, что ab=-ba

Но Дирак знал, что Паули ранее использовал матрицы в качестве коэффициентов своего уравнения, и он тоже пришел к тому, что его коэффициенты альфы и бета – это матрицы.

Дирак попробовал использовать матрицы Паули в качестве коэффициентов. Но матриц Паули только три, а у него 4 коэффициента – три альфы и одна бета. Он попытался найти четвертую матрицу в дополнение к трем матрицам Паули. Но немного поработав с ними он понял, что четвертой матрицы 2х2 не может существовать чтобы удовлетворялись все найденные им свойства для альф и беты. Альфы и бета должны быть матрицами 4х4. Он нашел и приводит в статье их явный вид.

Далее он доказывает Лоренц-инвариантность, то есть что его уравнение действительно релятивистское.

Он переходит к своим знаменитым гамма- матрицам и переписывает уравнение в 4-векторном индексном обозначении ТО в котором лоренц-инвариантность очевидна.

Далее он добавляет электромагнитное поле в свое уравнение и приходит к тому, что:

Электрон таким образом ведет себя так как если бы его магнитный момент был eh/2mc.

И это полностью соответствует экспериментам, хотя классические теории электрона предсказывали что в знаменателе должно стоять не 2, а 1. Таким образом этот так называемый g-фактор оказывается равным двум как следствие его уравнения. Это было удивительно.

Но еще удивительнее было то, что поскольку матрицы оказываются размером 4х4, то они должны умножаться на четырехкомпонентную волновую функцию. В уравнении Паули функция двухкомпонентна и эта двухкомпонентность появлялась из-за спина. В уравнении Дирака все удваивалось поскольку он как бы взял квадратный корень из уравнения К-Г, а при взятии корня как мы знаем получаестся два решения: плюс и минус.

Получается первые две компоненты описывают электрон со спином с положительными энергиями, а вторые 2 компоненты – электрон с отрицательными энергиями.

Заметьте, что спин в теории Дирака получился автоматически. Он не вводил искусственно эти матрицы, как сделал Паули в своем уравнении. Требование Лоренц-инвариантности автоматически диктует наличие матриц 4х4 определенного вида и соответственно спина. Спин таким образом является релятивистским эффектом.

Что же делать с лишними двумя компонентами, соответствующими отрицательным энергиям? Можно подумать, что их можно просто отбросить как мы отбрасываем решение «минус квадратный корень» и оставляем решение «плюс кв корень». Но в КМ так не получится сделать. Принцип суперпозиции говорит, что решения можно складывать. И даже если изначально взять электрон с положительной энергией, то со временем он может перейти в суперпозицию положительных и отрицательных энергий.

Вот что пишет Дирак в той же статье:

Для этого второго класса решений энергия имеет отрицательное значение. Можно преодолеть трудности классической теории исключив те решения, которые имеют отрицательную энергию. В квантовой теории этого сделать невозможно, так как в общем случае возмущение вызовет переходы из состояний с положительной E в состояния с  отрицательной E. Такой переход проявился бы экспериментально как если бы электрон внезапно изменил свой заряд с — e на +e, явление, которое никогда не наблюдалось.

Уже здесь видны зачатки того, что в дальнейшем вырастет в полноценное предсказание существования частиц с противоположным зарядом – антиматерии. Однако принять это сразу для теоретиков было затруднительно. Все думали: если бы такая частица с массой электрона, но противоположным зарядом существовала, экспериментаторы уже давно ее бы обнаружили.

Многие физики работающие над этой темой, включая Паули, были расстроены, что не им пришла в голову такая простая но гениальная идея, позволившая получить релятивистское уравнение. Паули ведь первым ввел матрицы как коэффициенты уравнения, а Шредингер получил ур. Клейна-Гордона более 2 лет назад еще до своего знаменитого нерелятивистского ур-я.

Вот, например что вспоминает математик и физик Юджин Вигнер:

Я обратился к релятивистскому волновому уравнению со спином потому что понял, что если не учитывать электромагнитное поле, то это проблема в рамках теории групп. У меня действительно был набор уравнений, которые были эквивалентны уравнениям Дирака без э-м поля. Йордан знал это и когда вышла статья Дирака он написал мне письмо. Прежде всего он сказал мне, что вышла статья Дирака. Я узнал от него не о статье, а о том как Дирак решил проблему. Он сказал: “Ну, кто-то другой решил эту проблему. Это очень плохо”. “Сначала это меня очень раздражало, но это действительно так красиво, что мы должны быть довольны этим”, и я согласился с ним.

Йордан сказал по поводу моего подхода: “Вы сделали это с помощью тяжелой работы и методов теории групп, а Дирак сделал это с помощью гениальной уловки.» Позже Йордан написал мне письмо в котором сказал, что видел статью двух русских, которые также говорили, что сделали что-то похожее на Дирака. Он написал мне и сказал: «Ну, поскольку они опубликовали свои додираковские попытки, вы тоже должны опубликовать свои”, но я не думал, что кто-нибудь чему-нибудь научится из такого додираковского подхода, поэтому я этого не сделал. Я не думаю, что это имело бы какое-либо значение.

В общем физики восприняли теорию Дирака крайне позитивно. Она несомненно обладала математической красотой и позволяла вывести из первых принципов многие вещи, включая спин, g-фактор, тонкую структуру спектральных линий.

Уравнение Дирака сводится к уравнению Паули при переходе к  нерелятивистскому пределу, которое в свою очередь сводится к уравнению Шредингера если мы еще и игнорируем спин.

Но в теории Дирака имелись и некоторые проблемы, которые как часто бывает в КМ оказались больше вопросами интерпретации.