Нарушение неравенств Белла

Неравенства Белла получены в рамках предположения об объективном существовании характеристик квантовомеханических объектов вне зависимости от измерений и наблюдателей. Покажем, что неравенство нарушается в случае квантовой механики.

Приведем еще раз само неравенство. Вероятность, что у частицы спин направлен вверх по оси 0° и вниз по оси 45° плюс вероятность что спин направлен вверх по оси 45° и вниз по оси 90° больше или равно вероятности того, что спин направлен вверх по оси 0° и вниз по оси 90°.

Для начала немного упростим неравенство. Поскольку угол между 0° и 45° такой же как между 45° и 90°, вследствие симметрии первая и вторая вероятности равны друг другу. Поэтому вторую вероятность можно заменить множителем 2.

Далее поскольку мы не можем одновременно измерить у частицы спин сразу по двум осям, мы воспользуемся свойством синглетного состояния по антикорреляции.

Спин по второй оси будем измерять не у первой, а у второй частицы синглетной пары. Утверждение что спин первой частицы направлен вниз по оси 45° эквивалентно утверждению, что спин второй частицы синглетной пары направлен вверх по оси 45°. Относительно одной и той же оси спины двух частиц в синглетном состоянии всегда направлены в противоположную сторону. То есть благодаря антикорреляциям мы можем заменить стрелочку вниз в вероятности на стрелочку вверх. При этом теперь следует помнить, что первая стрелочка относится к первой частице, а вторая ко второй частице синглетной пары.

Сделаем то же самое с другой вероятностью. Вниз по оси 90° первой частицы эквивалентно вверх по оси 90° второй частицы.

Вероятности в квантовой механике можно найти как ожидаемые значения соответствующих операторов проекции. Неравенство Белла на языке квантовой механики выглядит так.

Разобьем операторы проекции на тензорное произведение двух операторов, каждый из которых относится только к первой или только ко второй частице синглетной пары.

Посчитаем в матлабе эти вероятности.

Зададим кет-векторы «вверх по оси 0°» то есть вверх по z, а также «вверх по оси 90°», то есть вверх по х. Вектор состояния «вверх по оси 45°» это собственный вектор оператора спина по оси 45°, который в свою очередь можно получить из комбинаций матриц Паули. Но мы поступим проще. Просто сложим базисные векторы по оси 0° и 90°. Хотя векторы состояния и не имеют графического представления, полученный таким образом кет-вектор будет соответствовать состоянию вверх по оси, находящейся посередине между этими осями, то есть оси 45°.

Операторы проекции находятся как внешнее произведение соответствующих  векторов состояния.

Зададим синглетное состояние в матричном виде. Теперь можно посчитать сами вероятности, то есть найти ожидаемые значения тензорного произведения соответствующих операторов проекции.

Вероятность в левой части неравенства находится как ожидаемое значение операторов проекции «вверх по оси 0°» первой частицы и  «вверх по оси 45°» второй частицы. Умножаем эту вероятность на два.

Вероятность в правой части неравенства есть ожидаемое значение операторов проекции «вверх по оси 0°» первой частицы и  «вверх по оси 90°» второй частицы.

Запустив программу видим, что эта вторая вероятность равна 25%. Строчкой выше матлаб вывел результат для левой части неравенства. Получилось примерно 15%. Выходит, что неравенство Белла нарушается. 15 меньше 25.

Нарушения неравенств Белла были многократно проверены экспериментально и отклонений от предсказаний квантовой механики нигде не обнаружено. Нарушение неравенств говорит нам, что неверны сами предположения, используемые для вывода неравенства, а именно объективное существование характеристик квантовомеханических объектов вне зависимости от измерений и наблюдателей. Так называемые теории скрытых параметров и другие попытки описать квантовомеханические системы классической физикой приводят к предсказаниям, противоречащим экспериментальным данным. В то время как отклонения от предсказаний квантовой механики никогда не наблюдались.