GHZ-эксперимент

Рассмотрим GHZ-эксперимент. Где-то в центре галактики образуются три частицы со спинами в запутанном состоянии и разлетаются в разные стороны. Каждый из наблюдателей пропускает свою частицу через прибор Штерна-Герлаха и измеряет спин по какому-нибудь направлению оси.

Состояние всей системы из трех спинов описывается следующим вектором состояния. Оно называется GHZ-состоянием. Это уже трехкубитный вектор. Как видим он представляет собой разность тензорных произведений трех однокубитных векторов. В матричном виде вектор будет содержать восемь компонент.

Если все три наблюдателя будут измерять спин по оси z, то их результаты будут 100%-но коррелировать. Либо у всех спин окажется вверх, либо у всех вниз. Но само значение спина случайно. С 50%-й вероятностью спины окажутся вверх и с 50%-ой вниз. В общем все аналогично ЭПР-эксперименту с синглетным состоянием.

Интересно рассмотреть случай, когда наблюдатели выбирают разные оси. Пусть первый измеряет спин по оси х, а второй и третий по оси у. В принципе спин по каждой из осей может оказаться направлен либо вверх либо вниз. Обозначим за s¹_x спин первой частицы по оси Х, за s²_y спин второй частицы по оси у, за s³_y спин третьей частицы по оси у.

Соответственно для трех спинов мы имеем 2³, то есть восемь различных результатов измерения. Для дальнейшего удобства спин вверх будем обозначать за +1, а спин вниз за -1.

Итак, спин может оказаться вверх по X у первой частицы, вверх по Y у второй и вверх по Y у третьей. Может вверх по X у первой частицы, вверх по Y у второй и вниз по Y у третьей. Ну и так далее.

Квантовая механика позволяет рассчитать вероятности для каждой из комбинаций. Для этого достаточно найти ожидаемые значения соответствующих операторов проекции. Так, для первого случая необходимо вычислить ожидаемое значение оператора «вверх по х, вверх по у, вверх по y». В предыдущих видео мы приводили подобные вычисление в матлабе. Запишем сразу результат.

Получается, что часть вариантов вообще не реализуется. Мы имеем нулевую вероятность для некоторых комбинаций. Реализуются только четыре случая причем равновероятно, по 25% на каждый.

Спин может оказаться вверх по Х у первой частицы, вверх по Y у второй и вверх по Y у третьей. Или вверх по Х у первой, вниз по Y у второй, вниз по Y у третьей. Или два других варианта.

Заметьте, что спин каждой отдельной частицы абсолютно случаен. В двух вариантах он оказывается вверх, а в двух других вниз. То же самое происходит и у двух других наблюдателей. То есть каждый из трех наблюдателей на разных концах галактики при измерении множества таких частиц получает случайную последовательность. Опять же, как и в случае рассмотренного ранее синглетного состояния они могут обнаружить корреляции только сверив свои данные.

Заметьте еще одну особенность этих четырех вариантов: Произведение трех результатов спина всегда дает +1.

+1*+1*+1=+1

+1*-1*-1=+1

-1*+1*-1=+1

-1*-1*+1=+1

То есть у нас есть величина, которая не случайна а строго определена. Но она соответствует коллективному измерению трех спинов.

Это общее свойство квантово-запутанных состояний. Мы знаем свойства системы как целого, но ничего не можем сказать о свойствах ее составляющих. При измерении GHZ-состояния по указанным трем осям мы всегда в произведении получим +1, но значение каждого из спинов в отдельности абсолютно случайно.

Спин «вниз» может получится либо у двух частиц, либо ни у одной. Ситуации когда спин у одной или у всех трех частиц направлен вниз никогда не реализуются.

Коллективное измерение трех спинов это тоже наблюдаемая величина. В квантовой механике она должна описываться эрмитовым оператором. Этот оператор представляет собой просто тензорное произведение трех соответствующих матриц Паули.

В квантовой механике тот факт, что при измерении трех спинов их произведение дает +1 вытекает из того, что вектор GHZ-состояния является собственным вектором этого оператора с собственным значением +1. То есть при умножении данного оператора на вектор, получим тот же самый вектор, умноженный на +1 – собственное значение.

Давайте проверим данное свойство в матлабе.

Зададим базисные векторы вверх и вниз по оси z. Тензорное произведение с самими собой дают трехкубитные векторы «вверх-вверх-вверх» и «вниз-вниз-вниз». Это вектор-столбцы с восемью компонентами. Их разница есть GHZ-состояние. Нормирование добавляет множитель 1/корень(2).

Зададим x- и y- матрицы Паули. Тензорное произведение матриц Паули X Y Y есть искомый нами оператор. Умножим его на вектор GHZ-состояния.

Запустив программу увидим результирующий вектор. Строчкой выше матлаб вывел сам GHZ-вектор. Он точно такой же. То есть оператор ничего не сделал с вектором. Соответственно вектор является собственным с собственным значением +1.

Со 100%-ной вероятностью при измерении трех спинов по осям X Y Y мы получим в произведении +1.

Ситуация аналогична однокубитному случаю когда вектор «вверх» является собственным вектором оператора спина сигма z с собственным значением +1. То есть при измерении спина в этом состоянии по оси z мы со 100%-ной вероятностью получим +1. То есть частица точно отклонится вверх в приборе Штерна-Герлаха, ориентированном по оси z.

GHZ-состояние не является собственным вектором ни одной из сигма-матриц по отдельности, но является собственным вектором их определенных произведений.