Динамика гармонического осциллятора
В предыдущем видео мы нашли собственные векторы и собственные значения оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Но зная явный вид Гамильтониана можно найти и матрицу оператора эволюции. Она равна матричной экспоненте от Гамильтониана, умноженного на –it. Как мы говорили в 41 части данное выражение фактически является явной записью решения уравнения Шредингера. То есть теперь мы можем посмотреть как векторы состояния гармонического осциллятора меняются со временем.
Модифицируем немного программу из предыдущего видео. Сначала задается размерность матриц, матрица, аппроксимирующая вторую производную и вектор-столбец квадратичного потенциала.
Гамильтониан равен -1/2m, умножаемая на матрицу второй производной плюс диагональная матрица потенциальной энергии. Коэффициент 2m для простоты берем равным единице.
Вычисляем собственные векторы и значения Гамильтониана функцией eig. Возьмем третий собственный вектор в качестве нашей волновой функции пси.
Найдем матрицу оператора эволюции матричным экспоненцированием Гамильтониана, умноженного на –it.
Далее идет цикл в котором оператор эволюции действует на волновую функцию, которая затем строится на графике. И так по кругу. Волновая функция комплекснозначная, поэтому на графике отобразим только ее действительную часть.
Запустим программу. Действительная часть волновой функции изменяется. Можно посмотреть что происходит с мнимой частью. Видим примерно то же самое.
Посмотрим как будет меняться четвертый собственный вектор. Опять видим примерно то же самое. Волновая функция локализована в небольшой области пространства и изменяется со временем.
Посмотрим что же происходит с распределением вероятностей, то есть квадратом абсолютного значения волновой функции. Не видим никаких изменений. Давайте немного отмасштабируем график, чтобы четче видеть максимумы и минимумы. Хотя действительная и мнимая части волновой функции изменяются, это не приводит ни к каким наблюдаемым эффектам. Распределение вероятностей оказывается не зависящим от времени.
Но ведь согласно принципу суперпозиции вектор состояния не обязан быть базисным вектором. Наиболее общий вектор представляет собой сумму базисных с определенными комплексными коэффициентами.
Зададим волновую функцию в виде суммы первого и второго собственных вектора. Отобразим на графике действительную часть. И на всякий случай заново отнормируем волновую функцию. Опять видим какие-то волновые процессы. Отобразим квадрат абсолютного значения.
Вот это уже интересно. Распределение вероятностей теперь меняется со временем.
Давайте добавим в суперпозицию 0,3 умножить на третий собственный вектор. Система ведет себя практически как классический гармонический осциллятор – маятник. Только колебания совершает не частица, а распределение вероятностей. Теперь интуитивно понятно как из квантовой механики следует классическая.
Посмотрим что происходит с действительной частью волновой функции. Из-за того, что в суперпозиции складываются несколько волн с разными частотами, получается не стоячая, а бегущая волна. Но не забывайте, что это не волна материи. Это волна амплитуды вероятностей.
