Теория групп 2 — Изоморфизм

Группы описывают симметрию объекта. Но как мы видели, определение группы довольно абстрактно и не привязано к геометрии. Под определение группы попадает, например, вот такая вещь.

 Возьмем просто два числа: единицу и минус единицу. Таблица умножения для них имеет следующий вид. Можно убедиться, что эти два числа образуют группу. Операцией группы является простое умножение. Единичным элементом группы является единица. В таблице умножения у нас также единицы и минус единицы, то есть условие замкнутости соблюдается. Обратным элементом для -1 является -1 поскольку -1*-1 дает 1 единичный элемент. И для чисел выполняется ассоциативный закон умножения. Все условия соблюдаются, а значит имеем группу.

Сравним таблицу умножения с таблицей для группы С2, группы поворота на 180° из предыдущего видео. Они по сути идентичны. Просто элементы имеют другие обозначения. Повороту на 0° соответствует единица, а повороту на 180° минус единица. Говорят, что такие группы изоморфны друг другу.

Можно придумать много групп изоморфных С2. Например если рассматривать операцию отражения, то получим точно такую же таблицу умножения. Обозначим операцию отражения буквой σ. Если два раза отразить объект, то получим исходный объект. Данная группа называется S2.

Умножение координат вектора на -1 приводит к его отражению относительно начала координат. Поэтому группа, из чисел +1 и -1 относительно умножения также изоморфна и S2.

Приведем таблицу умножения группы С3 поворотов на 120 и 240° из предыдущего видео. Для нее тоже можно найти изоморфные группы. Например числа 0,1,2 относительно операции сложения по модулю 3 формируют группу, изоморфную С3. Она называется Z3.

Ноль плюс ноль будет ноль. 0+1=1 0+2=2 1+0=0 1+1=2

1+2=3 но 3 по модулю 3 дает ноль.

2+0=2

2+1=3 то есть ноль по модулю 3.

И 2+2=4 но 4 по модулю 3 дает 1.

Сравните таблицы. Они идентичны. Казалось бы совершенно разные математические объекты и операции. В одном случае операция поворота на два разных угла, а в другом случае сложение по модулю обычных чисел.

Заметьте, что единичным элементом у нас является число ноль потому что операцией в данном случае является сложение. Прибавление нуля к числу ничего не делает, поэтому он и есть единичный элемент группы.

Число 2 является обратным элементом для числа 1. 2+1=3 то есть ноль по модулю 3. А ноль – это наш единичный элемент. По тем же причинам число 1 является обратным для числа 2.

Ассоциативность также соблюдается поскольку расстановка скобок у слагаемых не влияет на результат.

Теперь видно в чем заключается мощь теории групп. Изучая саму группу как математический объект можно затем применить полученные результаты к совершенно разным, казалось бы не связанным областям.

В этом и основная заслуга Галуа. Конечно большим прогрессом было нахождение условия разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. В конечном счете до него это безуспешно пытались сделать такие великие личности как Лагранж, Гаусс, Коши.

Но то что он пришел к методам теории групп по значимости на порядки превосходит этот результат. Фактически с данного момента и ведет свое начало современная алгебра. А методы теории групп сейчас используются наверное во всех областях математики. Да и Природа воспользовалась теорией групп. Она лежит в основе физики элементарных частиц как мы ее сейчас понимаем.