Теория групп 9 — Комплексные числа и группа U(1)

Открытие комплексных чисел многими считается моментом рождения современной математики. До этого считалось, что всю математику исследовали вдоль и поперек еще в античности. Ничего нового уже не будет. Как же они ошибались. С этого момента математика начала развиваться по экспоненте. По комплексной экспоненте, которую мы и рассмотрим в этом видео.

По определению i²=-1. Леонард Эйлер изучая ряды получил знаменитую формулу, связывающую экспоненту с синусами и косинусами.

Хотя мнимая экспонента была введена чисто из алгебраических соображений, для разрешимости многочленов, она имеет геометрическую интерпретацию. Комплексное число a+ib можно представить точкой на плоскости, называемой комплексной плоскостью.

Любые два числа можно обозначить точкой на плоскости, но не для всех объектов это что-то дает. Для комплексных чисел это дает многое потому что в них заложена геометрия двумерной плоскости, а именно вращения.

Раз синусы и косинусы появляются в формуле Эйлера, то логично предположить, что мнимая единица как-то связана с периодическими процессами, вращениями.

И действительно, если провести вектор из начала координат, то число в экспоненте будет представлять собой угол поворота этого вектора. Более того, эту экспоненту можно рассматривать как оператор, выполняющий поворот вектора. Если задать произвольное число, скажем единицу, но умножение экспоненты на комплексное число соответствует его повороту на угол, указанный в экспоненте.

Простая программка, циклически умножающая экспоненту с малым углом на число показывает что происходит. Точка, соответствующая комплексному числу на плоскости, поворачивается относительно начала координат.

Но мы в пятом видео видели, что то же самое можно получить действием на вектор элемента группы SO(2). Кстати матричное представление этого элемента как раз содержит синусы и косинусы. Здесь должна быть какая-то связь.

Перепишем элемент группы SO(2) вот в таком виде. Ничего не напоминает? Если за единицу обозначить единичную матрицу, а за мнимую единицу матрицу при синусе, то получим формулу Эйлера.

Но тогда и формула с экспонентой должна работать. Надо только вместо мнимой единицы поставить такую матрицу.

Перепишем программу, заменив мнимую единицу матрицей, точку вектор-столбцом, а экспоненту матричной экспонентой. Видим то же самое.

Ничего удивительного. В шестой части мы же уже встречали такую матрицу, которой мы обозначили мнимую единицу. Она является генератором группы SO(2). При экспоненцировании генератора получаем элемент группы, ту самую матрицу с синусами и косинусами.

Комплексные числа с единичным модулем, то есть записываемые в виде 1*e^αi формируют группу, обозначаемую U(1). Один потомучто матрица размером 1х1, то есть просто число, комплексное число. U от слова unitary, унитарная. Видимо от слова unit, единица. Такие числа на комплексной плоскости представляются вектором единичной длины.

Как мы видим, группа U(1) изоморфна группе SO(2).

Что же остается неизменным при действии элемента группы U(1)? Ну тоже длина вектора, или квадрат длины вектора. Он находится умножением комплексного числа на свое сопряжение. Напомню, что операция комплексного сопряжения, обозначаемая звездочкой, меняет знак у мнимой единицы на противоположный.  

В физике можно встретить много систем, инвариантных относительно действия группы U(1). Да что систем, вся квантовая механика инвариантна относительно U(1). Ведь в ней квадрат абсолютного значения комплексного числа – амплитуды вероятности – интерпретируется как вероятность. Все что может предсказать квантовая механика это вероятности. Но если одновременно поменять фазу у всех амплитуд вероятности, умножить их на e^αi, то вероятности, а следовательно и предсказания теории, не изменятся. Никакими наблюдаемыми экспериментами нельзя померить фазу у амплитуды вероятности.

Но это не значит, что фаза вообще не нужна. Иначе мы бы в квантовой механике не использовали комплексные числа, а обошлись бы обычными. Согласно принципу суперпозиции амплитуды вероятности можно складывать. А вот тут уже фаза важна. Вернее не фаза, а разность фаз двух амплитуд. За счет этого и возникают все интерференционные эффекты. Волновые свойства материи, дуальность волна-частица или как еще это в научпопе называют, все это математически описывается именно комплексными числами. Как мы видим в них изначально заложена вращающаяся, повторяющаяся, колебательная природа.