Теория групп 14 — Глобальная калибровочная инвариантность
Как мы видели, группы являются математическим описанием симметрий. При действии элемента группы что-то должно остаться неизменным, должно сохраняться. В этом свете теорема Нетер о связи симметрий с законами сохранения кажется тривиальной.
Мы в основном рассматривали различные группы, осуществляющие операцию поворота в том или ином пространстве. Мы даже пришли к поворотам в пространстве Минковского и поворотам абстрактного спинора в абстрактном спинорном пространстве. Эта идея о преобразованиях симметрии в абстрактных пространствах оказалась очень плодотворной для физики.
Рассмотрим, например, простую электрическую цепь с батарейкой и резисторами. Через цепь протекает ток в 1А и на каждом элементе или участке цепи можно вольтметром померить напряжение.
Но напряжение по определению это разность потенциалов. Можно задать в каком-нибудь узле нулевой потенциал и посчитать потенциалы остальных узлов схемы. Обычно за ноль берут минус источника питания. Напряжение между любыми двумя узлами есть разность соответствующих потенциалов. Так на первом резисторе будет 1В.
Но заметьте, что если мы прибавим ко всем потенциалам какое-нибудь число, скажем 10В, то это не скажется на напряжениях. Мы наблюдаем симметрию. Операция симметрии, в нашем случае прибавление числа, оставляет неизменной некоторую величину, напряжение в нашем случае.
Также из этого следует, что сами потенциалы ненаблюдаемы в принципе. Сами их значения неважны. Важна лишь разность потенциалов. Все это в конечном счете вытекает из закона электростатики согласно которому электрическое поле E=-grad(φ). В одномерном случае градиент это просто производная. Поскольку производная от константы равна нулю, мы можем прибавить к потенциалу любое число и это не повлияет на величину электрического поля E.
Электрическое поле E наблюдаемо, его величину можно померить. Но значение потенциала померить нельзя. Можно померить только разность потенциалов, ну или бесконечномалую разность – производную от потенциала.
Вообще это свойство любых потенциалов. Возьмем, например, гравитационный потенциал. Как помним из школы, V=mgh где h-высота. Мы ее лучше за x обозначим. Данный потенциал также не наблюдаем. Наблюдаемой величиной является сила, также равная F=-grad(φ) или производная в одномерном случае. Опять мы можем прибавить константу и значение силы не изменится. Зависимость потенциала в данном случае линейная и при дифференцировании и сам x тоже уходит. Остается только привычное нам F=mg. Сила равна массе, умноженной на ускорение – ускорение свободного падения в данном случае.
Ну и третий пример рассмотрим. В квантовой механике система описывается комплекснозначной волновой функцией. Но эта волновая функция ненаблюдаема. Невозможно померить ее значение в точке. Квадрат абсолютного значения волновой функции согласно правилу Борна дает функцию распределения вероятности, которую и можно сопоставить с экспериментальными данными.
Квадрат абсолютного значения можно найти как комплексно сопряженная функция, умноженная на исходную. Заметьте, что мы также можем изменить волновую функцию не изменив при этом вероятности. Если домножить волновую функцию на eαi, то комплексно-сопряженная функция станет ψ* e—αi. При умножении одно на другое экспоненты дадут единицу и функция распределения вероятностей не изменится.
Обратите внимание, что величину eαi в 9 части мы называли элементом группы U(1). То есть на языке теории групп можно сказать, что квантовая механика инвариантна относительно действия группы U(1) на волновую функцию. Ну в том же самом смысле, как прибавление числа к электрическому потенциалу оставляет инвариантной электростатику. То есть экспериментально наблюдаемых изменений не произойдет.
Физики говорят, что имеется глобальная калибровочная инвариантность. Глобальная потомучто вся волновая функция или весь понетциал в каждой точке x изменяется одинаково. Термин калибровочная введен Германом Вейлем из более частных соображений в теории относительности и сейчас уже не отражает по смыслу то, что происходит. Считайте его просто физическим термином.
Итак, все это наверное вам кажется как бы тривиальным. Ладно, в физических теориях используются потенциалы и другие ненаблюдаемые функции. Видимо они вводятся просто для удобства. Понятие потенциальной энергии очень удобно. Да и волновая функция позволяет относительно просто рассчитывать экспериментально наблюдаемые вещи. То что имеется некоторая неоднозначность их определения, ну это из самого определения наверное и вытекает. В конечном счете они не наблюдаемы, тогда какая разница?
Ученые долгое время так и думали. Но с появлением квантовой механики стало ясно, что такие ненаблюдаемые функции оказывается играют более важную роль, чем непосредственно наблюдаемые. Например, в уравнениях квантовой механики вы не встретите ни силы, ни электрического или магнитного поля. Все заменяется электромагнитными потенциалами и волновыми функциями.
Были найдены уравнения, инвариантные относительно других групп, а не только U(1). И постепенно калибровочная инвариантность из статуса дополнительной ненужной избыточности в определении функций превратилась в один из основополагающих принципов на котором строятся современные физические теории. И ключевым аспектом тут послужило открытие локальной калибровочной инвариантности о которой мы поговорим в следующий раз.
