История создания квантовой механики #3: Паули и Гейзенберг

До начала второй мировой войны научным центром была отнюдь не Америка, а Европа. Ученым необходимо было знать немецкий язык, поскольку статьи Эйнштейна, Планка и многих других печатались по-немецки.

Крупнейшими научными центрами были германские города Мюнхен и Геттинген. Макс Планк работал Мюнхенском университете. Там же работали  Гейгер, Герлах, Лауэ.

Самый известный математик конца 19 – начала 20 века Давид Гильберт работал в Геттингене. Там же работали Макс Борн, Герман Вейль, Юджин Вигнер, математики Герман Минковский и Эмми Нетер.

Применительно к квантовой механике третьим центром был Копенгаген в Дании поскольку там работал Нильс Бор.

В 1920 году Вернер Гейзенберг поступает в Мюнхенский университет. Там под руководством специалиста по старой квантовой механике и модели атома Бора Арнольда Зоммерфельда он погружается в изучение атомной физики.

Там же Гейзенберг знакомится с другим студентом Зоммерфельда — Вольфгангом Паули. Паули, как и Гейзенберг был гением. Крестным отцом Паули был физик Эрнст Мах, идеи которого по словам Эйнштейна вдохновили его на создание общей теории относительности.

Паули написал свою первую статью по теории относительности когда ему было 18 лет. В 20 по просьбе Зоммерфельда Паули написал обширный обзор для «Физической энциклопедии», посвящённый общей теории относительности. Впоследствии эта работа, вышедшая как монография, получила восторженные отзывы самого Эйнштейна и до сих пор считается классической. Эйнштейн пишет:

Кто бы не изучал эту грандиозную работу не может поверить, что автор это 21-летний юноша.

Вот как Гейзенберг вспоминает свою первую встречу с Паули в Мюнхенском университете:

Я был впечатлен, что человек моего возраста уже знает все об ОТО, и я сразу же заинтересовался этим студентом. С этого времени мы начали снова и снова обсуждать разные вещи.S

Паули и Гейзенберг оставались близкими друзьями всю последующую жизнь.

Когда в 1922 Зоммерфельд уезжает на год в США, он отправляет Гейзенберга и Паули в Геттинген. Там они занимаются исследовательской работой под руководством известного математика и физика-теоретика Макса Борна. Здесь они первый раз встречают Нильса Бора, приехавшего из Копенгагена с курсом лекций.

Таким образом к 20-летнему возрасту Гейзенберг и Паули познакомились со всеми тремя мировыми ведущими школами по атомной физике: Мюнхенской, Геттингенской и Копенгагенской.

Во время своего визита в Геттинген, Нильс Бор приглашает Паули к себе в Копенгаген. Паули принимает приглашение и работает следующий 1923 год с Нильсом Бором. Гейзенберг также посещает Копенгаген с коротким двухнедельным визитом в 1923, а также проводит там зимние семестры 24, 25 годов.

Вот что он вспоминает об атмосферах Геттингена и Копенгагена того периода:

Нильса Бора более других тревожила несостоятельность квантовой теории. Он всегда пытался понять что стоит за этими трудностями. Надо сказать, что ни Зоммерфельда ни Макса Борна эти вещи так не тревожили. Зоммерфельд был счастлив когда ему удавалось применить сложные интегралы и он особо не заботился о состоятельности теории. Макс Борн немного с другой стороны, но тоже по большей части интересовался математическими проблемами.

Таким образом, проникнуться духом квантовой теории в то время возможно было только в Копенгагене. Конечно в других местах говорили о тех же вещах, но никого особо не волновали противоречия теории. Но они были центральными для Нильса Бора – он был человеком, который всегда хотел достичь предельной степени ясности. Он никогда не останавливался не достигнув конца. Большинство других физиков, например, Шредингер, в какой-то момент останавливались и говорили «Ладно, не волнуйтесь.» Но Бор никогда так не делал.

И скоро у меня сложилось впечатление, что никто не мыслил так глубоко над проблемами квантовой теории как Нильс Бор.

В общем в Гёттингене, видимо под влиянием математической школы Гильберта, атмосфера была иной, чем в Копенгагене. Как говорил Гильберт:

Физика слишком сложна для физиков. Только математики смогут довести дело до конца.

Но в обоих центрах, и в Копенгагене и в Геттингене, физики сходились на том, что моделью атома Бора невозможно объяснить все наблюдаемые эффекты и нужна новая теория, которую они между собой называли квантовой механикой.

Переместимся в 1925 год.

Столица Норвегии переименована в Осло.

В СССР был принят закон об обязательной военной службе. Город Царицын переименован в Сталинград.

В Женеве подписан Протокол о запрещении применения химоружия.

24-х летний Вернер Гейзенберг публикует основополагающую работу, ознаменовавшую собой начало квантовой механики.

Квантово-теоретическая ре-интерпретация кинематических и механических соотношений.

По словам Гейзенберга идея пришла ему в голову в июне 1925, когда он будучи на острове Гельголанд, лечился от приступа сенной лихорадки. Вкратце идея Гейзенберга такова. Противоречия в модели атома Бора возникают из-за использования величин, которые никогда не наблюдались экспериментально и, следовательно, неизвестно наблюдаемы ли они в принципе. Гейзенберг считает траекторию движения электрона в атоме ненаблюдаемой величиной.  Он говорит: давайте переформулируем теорию в терминах непосредственно наблюдаемых в экспериментах величин.

До статьи Гейзенберга к атому применялись методы астрономии. А в астрономии удобнее описывать движение планеты вокруг Солнца, задавая ее траекторию – функцию x(t), зависимость ее положения от времени. Эти траектории наблюдаются в телескоп. Траектории движения астрономических объектов на небесной сфере видны и невооруженным глазом. Но в случае атома, траектория движения электрона вокруг ядра ненаблюдаема. И если даже предположить ее гипотетическое существование, как сделал Нильс Бор в своей модели атома, то теория сразу наталкивается на внутренние противоречия. Наблюдаемыми являются совершенно другие величины – например, частоты испускаемых фотонов при переходе атома из одного стационарного состояния в другое.

Однако математически можно перейти от траекторий к частотам с помощью преобразования Фурье. Любую периодическую траекторию можно разложить на сумму нескольких колебаний с определенными частотами ω и амплитудами a, так называемый ряд Фурье.

Но все наблюдаемые величины в модели Бора оказываются зависящими от двух стационарных орбит, а не от одной. Частота фотона определяется разностью энергий двух уровней. Все наблюдаемые величины оказывались связанными с переходами от одного состояния к другому.

Поэтому у Гейзенберга возникла идея добавить частоте ω два индекса — квантовых числа n и n—α, определяющих два стационарных состояния, два энергетических уровня или два радиуса орбиты в модели Бора. Каждому выбору двух уровней таким образом соответствует своя частота. Но тогда ведь и амплитуде a нужно приписать два индекса n и n—α.  

Амплитуды тоже дают непосредственно наблюдаемые величины, поскольку из теории следует, что квадрат их абсолютного значения соответствует интенсивности излучения данной частоты ω. Интенсивности наблюдаемой спектральной линии.

Гейзенберг исследовал свойства таких объектов с двумя индексами. Из свойств рядов Фурье Гейзенберг вывел формулу для их сложения и умножения. И формула умножения давала удивительный результат: порядок умножения имеет значение. Как пишет Гейзенберг в своей статье:

Хотя в классической теории xy всегда равно yx это не обязательно так в квантовой теории.

Появившиеся в теории Гейзенберга математические объекты соответственно не могут быть простыми числами или функциями. Никогда ранее в физике ничего подобного не встречалось. Гейзенберга изначально расстроил данный факт. В статье он отмечает его как трудность. Из-за этого он даже сомневается в корректности своей теории.

Перед отправкой статьи в журнал он посылает манускрипт Паули и Борну с просьбой оценить заслуживают ли его результаты публикации.

Как вспоминает Макс Борн:

Я прочитал статью и был шокирован. Гейзенберг использовал преобразование Фурье для получения правила умножения амплитуд перехода между энергетическими уровнями. Но потом говорит: забудьте все эти ряды Фурье и рассматривайте только сами амплитуды, поскольку они и есть наблюдаемые. Он даже предлагает использовать такие амплитуды перехода для величин координат и импульсов, а не только энергии.

Я был глубоко поражен результатами Гейзенберга.

Хотя Гейзенберг изначально сомневался в своей теории, его идеи получили быстрое развитие. Практически сразу было показано, что появление объектов, для которых не выполняется коммутативный закон умножения, является не багом, а фичей теории. Этим квантовая механика и отличается от классической. Это не недостаток, а главный аспект теории, тот самый недостающий ингредиент, позволяющий убрать все противоречия. Именно таким в общем случае некоммутирующим объектам соответствуют наблюдаемые величины.

Статьи с дальнейшим развитием теории выходили практически каждый месяц. И помимо Геттингенской школы Макса Борна одну из главных ролей в этом сыграл другой молодой ровесник Гейзенберга и Паули с туманного альбиона – Пол Дирак.