История создания квантовой механики #4: Борн и Дирак

После публикации статьи Гейзенберга с некоммутирующими переменными развитие квантовой механики пошло по экспоненте. Макс Борн прочитав статью Гейзенберга, сразу понял, что в ней что-то есть. Как он вспоминает:

…прочитав и восхитившись статьей Гейзенберга я начал размышлять над его правилом символьного умножения и скоро так погрузился, что думал над этим весь день и не мог уснуть ночью. Я чувствовал, что за ним скрывается что-то фундаментальное. И однажды утром меня внезапно осенило. Символьное умножение Гейзенберга было не чем иным как матричным умножением.

Согласитесь, что узнать матричное умножение в формуле Гейзенберга сложно даже сейчас, когда матрицы изучаются со школы. В 1925 году матрицы считались чем-то из глубин математики и были известны лишь математикам. Гейзенберг не знал что такое матрицы. Их и ввели в школьную и университетскую программу много позже и именно потому, что они оказались нужны для современных фундаментальных и прикладных наук. Макс Борн в отличие от Гейзенберга был математиком и работая в Геттингене вместе с Давидом Гильбертом конечно знал про матрицы.

Борн пишет:

Я сразу же осознал важность данного наблюдения. Оно означало, что два матричных произведения pq и qp не идентичны. Я был знаком с тем фактом, что матричное умножение не коммутативно, поэтому я был не слишком озадачен. Повторив вычисления Гейзенберга в матричных обозначениях я получил странное равенство: pq—qp=(h/2pi*i)*I

Буквой p принято обозначать импульс, q – координату. Макс Борн нашел, что координата и импульс не коммутируют.

Но строгого математического доказательства данной формулы Борн не знал. 19 июля в поезде по пути из Геттингена в Ганновер Макс Борн встречает Паули.

Я сразу же рассказал ему о матрицах и спросил не желает ли он присоединиться и помочь в исследованиях. Но вместо ожидаемого интереса получил холодный саркастический отказ. “Да, я знаю вы фанат скучного и сложного формализма. Вы только испортите физические идеи Гейзенберга своей бесполезной математикой”.

У Паули надо сказать была такая черта характера. Он любил покритиковать чужую работу. Если что-то он считал неверным, то не стеснялся выражений. Сейчас бы его точно обвинили в неполиткорректности. Известна его часто произносимая фраза “nicht einmal falsch” (“not even wrong”). Иногда он подписывал критические письма как “der furchterliche Pauli” (“the terrible Pauli”).

Эренфест однажды сказал ему «Ваши публикации мне нравятся больше, чем вы» на что Паули ответил «Странно. Мои чувства по отношению к вам строго противоположные». С тех пор они стали друзьями.

Сам Паули впоследствии говорил:

Хотя я иногда отзывался о чем-то верном как о неверном, я никогда не отзывался о чем-то неверном как о верном.

На следующий день, 20 июля Макс Борн просит своего аспиранта, 23-летнего Паскуаля Йордана помочь ему с доказательством коммутационного соотношения и дальнейшим развитием идей. О Йордане не принято вспоминать поскольку он впоследствии стал ярым нацистом и почитателем идей Гитлера. Ему даже Нобелевскую премию не дали как всем другим отцам-основателям квантовой механики. Хотя по факту Йордан сделал для квантовой механики не меньше, чем сам Макс Борн.

Спустя всего пару дней Йордан принес Борну строгое математическое доказательство канонического коммутационного соотношения. Эти результаты они опубликовали в сентябре 1925 в совместной работе.

Перенесемся в Великобританию, в Кембридж, где трудится другой молодой ровесник Паули и Гейзенберга – Пол Дирак. Гений, без которого невозможно представить себе квантовую механику в ее современном виде.

Дирак получает инженерное образование по электротехнике в Бристольском университете в 1921 году, но не может найти работу по специальности. Он поступает аспирантом в Кембридж и стипендия позволяет ему жить. В это время он интересуется теорией относительности, а также под руководством Ральфа Фаулера знакомится со старой квантовой механикой и моделью атома Бора.

Фаулер часто посещал Копенгаген и, зная все о последних событиях, держал Дирака, в курсе дела. Гейзенберг также прислал Фаулеру корректуру своей основополагающей статьи и Фаулер передал ее Дираку с пометкой: «Что вы об этом ду­маете?».

Как вспоминает Дирак:

Корректура пришла ко мне в конце августа и я ее, конечно, прочел. Сначала она не произвела на меня особого впечатления, потому что показалась слишком сложной. Я не понял основной мысли, а вывод квантовых условий показался мне очень искусственным и я просто пропустил его, как не представляющий интереса. Однако через неделю я вернулся к статье Гей­зенберга, изучил ее более внимательно и неожиданно понял, что она дает ключ к решению всех трудностей, с которыми мы тогда сталкивались.

Дирак, которому кстати на тот момент было всего 23 года, независимо получил все результаты Борна и Йордана, включая коммутатор координаты и импульса. Кстати автором термина «коммутатор» также является Дирак. На вики есть целая страница со списком вещей, названных в честь Дирака. Если учесть еще вещи, полученные Дираком, но не названные в его честь, то список был бы в разы больше.

Отталкиваясь от работы Гейзенберга, Дирак продвинулся намного далее Борна с Йорданом и использовал при этом совершенно иной подход.

Дирак как и Гейзенберг никогда не слышал о матрицах. И ему в отличие от Гейзенберга никто не сказал, что некоммутирующие величины в статье Гейзенберга – это матрицы. Он рассматривал их просто как абстрактные некоммутирующие объекты.    

Дирак вспоминает:

… я подошел к задаче смелее и вскоре понял, что главное в ней — некоммутативность. Именно некоммутативность, приведшая Гейзенберга в отчаяние, оказалась важнейшим свой­ством созданной им теории, тем свойством, которое нужно было понять.

В статье Дирак пишет:

В своей недавней работе Гейзенберг выдвигает новую теорию, которая говорит, что это не уравнения классической механики неприменимы, это математические операции посредством которых получаются физические результаты требуют модификации. Вся информация, предоставляемая классической механикой может таким образом быть использована в квантовой теории.

На самом деле в статье Гейзенберга ничего подобного не сказано. Это результат Дирака. Но, как мы подчеркнем чуть позже, Дирак был чрезвычайно скромным человеком и не стремился чтобы его лишний раз упоминали.

Дирак обнаружил, что некоторые уравнения классической механики сохраняют свой вид. Просто вместо числовых функций необходимо поставить некоммутирующие величины. Он также задался вопросом какой классической величине соответствует коммутатор.

 И он нашел какой:

В одно из октябрьских воскресений 1925 г., когда, несмотря на твердое желание отдохнуть на прогулке, я усиленно размышлял над разностью uv—vu мне пришла в голову мысль о скобках Пуассона. Я вспомнил, что в продвинутых курсах динамики я кое-что читал о таких странных величинах, как скобки Пуассона, и мне показалось, что существует тесная аналогия между скобками Пуассона для двух величин и коммутатором.

Дирак в статье показал, что квантовому коммутатору можно поставить в соответствие классическую скобку Пуассона, умноженную на ih. То есть он говорит: Везде где в уравнениях классической механики встречается скобка Пуассона, замените ее на коммутатор и вы получите квантовый аналог. Именно таким образом, не прибегая к матрицам и матричным элементам, Дирак пришел к каноническому коммутационному соотношению.

И даже более. В этой же своей первой статье он получил уравнение, описывающее динамику квантовых некоммутирующих величин. Уравнение, описывающее их изменение во времени. Производная от времени величины равна ее коммутатору с Гамильтонианом. Уравнение, сейчас именуемое уравнением Гейзенберга. Хотя, как видим, впервые его получил Дирак. Если величина коммутирует с Гамильтонианом, то она сохраняется. То, что сейчас учат где-то в середине курса квантовой механики Дирак получил в первой же своей статье.

Надо сказать, что и уравнение, которое сейчас называется уравнением Шредингера также впервые получил Дирак. Сам Шредингер получил уравнение, сейчас называемое стационарным уравнением Шредингера. Под уравнением Дирака сейчас понимается другое, не менее грандиозное уравнение.

Надо отметить, что про скобки Пуассона в то время также слышали не все физики. Это довольно абстрактный раздел классической механики, который опять же только потом ввели в обязательную образовательную программу физиков.

Сопоставив коммутатор скобке Пуассона Дирак таким образом нашел оригинальное воплощение принципа соответствия Бора. Хотя позже было показано, что квантовая механика — это не просто классическая механика с коммутаторами, эти первоначальные идеи Дирака позволили сильно продвинуться вперед в понимании теории.

Пол Дирак был гением среди гениев. Он мыслил совершенно на другом уровне, даже на фоне таких гениев как Гейзенберг и Паули. Все соглашаются, что его работы сложно читать, но в то же время они безупречно красивы.

Вот как Макс Борн вспоминает свои впечатления от прочтения работы Дирака:  

 «Это было одно из самых больших потрясений за всю мою научную карьеру. Имя Дирака мне было совершенно незнакомо. Автор был очень молод, однако все в его подходе было прекрасным. Это было восхитительно».

Говоря о Дираке нельзя не затронуть его личные качества. Он старался избегать любого внимания по отношению к себе и был чрезвычайно немногословен. Читая стенограмму интервью известного историка науки Томаса Куна с Гейзенбергом и Дираком можно наглядно видеть разницу их характеров.

На вопрос Куна, Гейзенберг может отвечать десятками минут, страницы стенограммы. Но если посмотреть на интервью Дирака, то видим совершенно противоположное. Кун задает вопрос длиной в пол страницы, Дирак отвечает – Да. Томас Кун опять уточняет вопрос, Дирак опять отвечает «Да», ну или односложной фразой.

Но в то же время каждая фраза Дирака пронизана железной логикой. Известен анекдотичный случай. Дирак делает доклад на конференции. После доклада идут вопросы и один профессор говорит «Я не понял как вы вывели данную формулу». Дирак молчит. Через некоторое время председатель не выдерживает и говорит «Господин Дирак, не могли бы вы ответить на поставленный вопрос?». На что Дирак отвечает «Это было утверждение, а не вопрос.»

В общем Дирак, Гейзенберг, Борн, Йордан развили подход, который в дальнейшем получил название «матричная квантовая механика». Паули успешно применил его для описания атома водорода. Именно с этой статьи Паули все остальные физики поверили в эту новую странную теорию. Казалось бы остается только двигаться в заданном направлении и развивать идеи. Но тут появился Эрвин Шредингер и все испортил.