История создания квантовой механики #5: Шредингер и Дирак

1925 год

Гейзенберг в письме Дираку сообщает, что вместе с Йорданом и Максом Борном они подготовили большую статью в которой развивают матричный подход. Также Гейзенберг пишет Дираку, что Паули удалось применить его к атому водорода.

Но Дирак предпочитает свой собственный метод. В своей второй статье он продолжает рассматривать абстрактные некоммутирующие объекты не прибегая к конкретным матрицам. Он назвал такие объекты q-числа в отличие от обычных комплексных  c-чисел.  Дирак использует лишь абстрактные алгебраические свойства этих некоммутирующих q-чисел чтобы получать физические результаты. И ему это удается. В статье он также применил свой подход к атому водорода и вывел спектральную формулу Бальмера.

В общем научная атмосфера в 1925 году была такова. Горстка молодых физиков, которым и 25 лет не было, развили новый подход, использующий абстрактную математику, никогда ранее не появлявшуюся в физике. Эту математику понимало небольшое число математиков и ничтожно малое количество физиков. С большинством из них мы уже познакомились. Все остальные просто смотрели, охреневали, но ничего не могли поделать. У большинства даже с матрицами были проблемы, не говоря уж об абстрактных q-числах Дирака. Как вспоминает математик Юджин Вигнер, о Дираке все говорили примерно следующее:

Есть в Англии странный человек, который работает над этими вещами и развил свой собственный язык и он наверное первоклассный гений, но для нас смертных его подход бесполезен.

Старое поколение физиков конечно видело, что новая квантовая механика дает результаты, согласующиеся с экспериментом. Но все их естество противилось принятию радикальных идей молодых отцов-основателей. Все думали «Нет! Природа просто не может так работать!»

Переместимся на год вперед.

1926 год

• Новониколаевск переименован в Новосибирск.
• Троцкий и Каменев исключаются из политбюро.
• Совершается покушение на Бенито Муссолини.
• В Берлине основана авиакомпания Luft Hansa.
• Гертруда Эдерле переплывает Ла-Манш.
• Эрвин Шредингер публикует свою знаменитую работу в которой предлагает наглядную, полностью классическую картину того, что происходит внутри атома. Причем на привычном физикам языке дифференциальных уравнений. Никаких вам некоммутирующих q-чисел Дирака или матриц.

Шредингер опирался на работы Луи де Бройля.

Было известно, что свет оказывает давление. Еще сам Кеплер заметил, что хвост кометы всегда направлен от солнца. Наличие давления означает, что свет обладает импульсом.

Импульс равен энергии деленной на скорость. p=E/c

Применяя формулу Планка для энергии фотона E=hν можно таким образом получить соотношение между импульсом и частотой.

Де Бройль подумал «Если свет это электромагнитная волна, которая иногда проявляет корпускулярные свойства, например при фотоэффекте, то может быть и частицы это тоже волны, которые наоборот лишь иногда проявляют  волновые свойства».

Таким образом все можно описать волнами: и свет, и частицы. Просто в одном случае волновые свойства проявляются сильнее корпускулярных, а в другом наоборот.

Для частицы импульс — это просто произведение ее массы на скорость. Если по данным формулам найти длину волны, соответствующую макроскопическим телам, то она получается ничтожно малой. Волновые свойства макротел практически отсутствуют, и мы не наблюдаем интерференцию бильярдных шаров, скажем. Но когда масса мала, как в случае электрона, длиной волны уже нельзя пренебречь. Эта длина оказывается порядка радиуса атома.

Несмотря на красивую идею, Де Бройль в своих изысканиях не продвинулся дальше этих примитивных формул. Шредингер симпатизировал идеям де Бройля. Но в отличие от него, был хорошим математиком и понимал, что если есть волна, то должно быть и волновое уравнение.

И Шредингер нашел уравнение, описывающее как он думал волну материи. Его идея выглядит конечно намного нагляднее матриц Гейзенберга или q-чисел Дирака. Электрон в атоме в представлении Шредингера является стоячей волной. На орбите должно укладываться целое число полуволн, поэтому не все радиусы разрешены. Этим и объясняются дискретные энергетические уровни атомов.

Шредингер применил свое волновое уравнение к атому водорода и тоже получил правильный спектр. Тут уже наоборот, отцы-основатели стали думать «Нет! все не может быть так просто». Поначалу они отнеслись к волновой теории Шредингера скептически.

Вот что Гейзенберг пишет Дираку:

«Вернувшись недавно в мир физики, я обнаружил Вашу последнюю статью об атоме водорода. Поздравляю Вас. Ваша работа привела меня в восхищение…

«На самом деле, я пишу Вам, чтобы задать несколько вопросов. Несколько недель назад в журнале «Annalen der Physik» появилась статья Шрёдингера, написанная, как мне кажется, в духе квантовой механики. Не думали ли Вы о том, как описание атома водорода, приведенное Шрёдингером, соотносится с квантовой механикой?

Дирак вспоминает:

В ответ я написал, что теорией Шрёдингера не занимался. Вначале я был настроен к ней несколько враждебно. Я считал, что уже существует пре­красная квантовая механика, которую можно приспособить к решению всех задач атомной теории. Зачем отступать на догейзенберговскую позицию ко времени, когда не было квантовой механики, и пытаться построить ее заново? Меня просто возмущала мысль об отступлении и о том, что, может быть, придется начать все сначала, отказавшись от всех успехов, достигнутых с помощью новой механики. Довольно долго я и думать не хотел о том, чтобы браться за шрёдингеровский подход.

Однако старое поколение физиков с огромной радостью восприняло идеи Шредингера. Они могли теперь забыть о матрицах, q-числах и вернуться к решению привычных им дифференциальных уравнений.

С математикой Шредингера поспорить было нельзя потому что она давала верные результаты. Но вот с физической интерпретацией этой волны были проблемы, которые видела лишь Копенгагенская школа физиков.

Шредингер мыслил волну как распределение в пространстве электрического заряда частицы и ее массы. Но с этим не соглашались основатели матричной механики. Остальных физиков все устраивало и они носили Шредингера на руках. Вот как Гейзенберг вспоминает один случай на конференции с нобелевским лауреатом Вином:

Я покритиковал Шредингера и Вилли Вин был в бешенстве. Я сказал «Это не может быть правдой потому что если сделать такие предположения, то вы не сможете объяснить даже закон излучения Планка». Вилли Вин поднялся и почти вышвырнул меня из аудитории. Он сказал «Молодой человек, вы должны подучить физику и будет лучше если вы сядете». Он был очень зол. Он сказал «Ну, возможно некоторые трудности еще имеются с законом Планка. Но мы не сомневаемся, что господин Шредингер решит эти проблемы. Мы не должны об этом волноваться».

Представляете, заявить такое Гейзенбергу в 26-м году, уже после выхода его общепризнанных основополагающих статей! Обращаться с ним как с глупым студентом! Вот такое было сопротивление старого поколения физиков новым идеям отцов-основателей. Сам Зоммерфельд, наставник Гейзенберга, говорил на семинаре:

Конечно мы верим, что Гейзенберг знает о физике больше, но мы будем вычислять по Шредингеру.

Sommerfeld said, «Well, of course we really believe that Heisenberg knows better about the physics, but we calculate with Schrodinger.» But that was very much later.

Вскоре Шредингер показал, что матричный и его волновой подход эквивалентны. По-сути задача нахождения разрешенных уровней энергии атома сводится к математической задаче на собственные значения. Его уравнение, которое мы сейчас называем стационарным уравнением Шредингера, является уравнением на собственные значения оператора. А Гейзенберг, Борн и Йордан находили собственные значения матриц. Но матрица — это частный случай оператора.

Шредингер был математиком и в отличие от физиков того времени знал о таких вещах как собственные векторы и собственные значения операторов. Но он все же не отступил от идеи рассматривать волну как материальный объект. И в статье, где он показывает эквивалентность подходов, он неустанно подчеркивает преимущества именно своего подхода.

Дирак в том же 26-м году также взялся за проблему перехода от дискретных матриц к непрерывным величинам. Из его первых же работ видно, что он ясно понимал, что не все в квантовой механике можно представить матрицами. Поэтому он и предпочитал более абстрактные q-числа.

Дирак в своей знаменитой статье переходит от матриц с конечным числом строк и столбцов к бесконечномерным. Он также сделал индексы матриц плавно меняющимися переменными, действительными числами, а не просто целыми. В правиле перемножения матриц «строка на столбец» он заменил сумму по индексам интегралом.

И когда у него возникла необходимость получить элемент такого непрерывного объекта, обобщающего матрицу, по аналогии с элементом матрицы, он понял, что ему нужна функция, которая строго говоря не подпадает под определение функции.  

Но он ее придумал и назвал дельта-функцией. Математиков эта неправильная функция страшно бесила. Они не могли уложить ее ни в какие существующие к тому времени математические концепции. Они считали, что ее нельзя использовать, потому что такой функции просто нет. Она не может существовать. Дельта-функция не подходит под математическое определение функции. Но Дирака это особо не волновало.

Однажды даже сам Давид Гильберт деликатно предупредил Дирака:

«Работая с дельта-функцией вы можете получить противоречия». На что Дирак ответил «Я получил какие-то противоречия?».

Лишь позднее математик Лоран Шварц дал строгое математическое обоснование дельта-функции. Только к 1950 году работы Шварца были признаны математическим сообществом, и он получил Филдсовскую медаль. Математики теперь называют такие объекты обобщенными функциями или распределениями. Выходит, что Дирак обобщил само понятие функции.  Яркий пример того как физика оказывает влияние на чистую математику.

Итак, Дирак используя дельта-функцию вывел все результаты Шредингера из тех же самых первоначальных идей о некоммутирующих величинах. Элегантно показал эквивалентность матричного и волнового подходов и между делом получил уравнение, позволяющее найти как волновая функция изменяется во времени – уравнение, сейчас известное как уравнение Шредингера.

Макс Борн в это время осознал, что также как и квадрат амплитуды в преобразовании Фурье которое использовал Гейзенберг, дает вероятность, квадрат абсолютного значения волновой функции также дает вероятность. Вероятность при измерении обнаружить частицу в той или иной точке. Волновая функция таким образом не является материальным объектом, волной материи как ее мыслил Шредингер. Это просто математический инструмент, позволяющий найти вероятность того или иного события.

Шредингер, а за ним и большинство физиков включая Эйнштейна были не согласны. Вероятностная интерпретация им не нравилась. Известна знаменитая фраза Эйнштейна «Бог не играет в кости».

Чтобы выяснить кто прав физики собрались на Сольвейской конференции где состоялась величайшая битва титанов мысли. С одной стороны была горстка молодых гениев Копенгагенской научной школы во главе с идеологом Нильсом Бором. С другой – все остальное научное сообщество во главе с Эйнштейном и Шредингером.