Относительность 12 — Тензоры
Естественным обобщением векторов и дуальных векторов являются тензоры. Если 4-вектор имеет один верхний индекс, дуальный вектор – один нижний, то тензор имеет несколько верхних и несколько нижних индексов. Количество индексов называется рангом тензора. Числа — это тензоры нулевого ранга. Векторы и дуальные векторы — это тензоры первого ранга. И так далее.
Компоненты вектора можно записать в столбец. Компоненты дуального вектора – в строку. Компоненты тензора второго ранга можно записать в таблицу – матрицу. Но если у тензора 3 и более индексов, то обычно их уже не сопоставляют многомерным матрицам. Индексное обозначение, хоть и более абстрактное, но и более удобное в этом случае.
Тензоры ведут себя линейно и независимо по каждому из индексов, то есть их можно рассматривать как набор векторов и дуальных векторов. Верхний индекс соответствует вектору, нижний – дуальному вектору. При преобразованиях Лоренца на верхние индексы действуют прямые преобразования, а на нижние – обратные преобразования Лоренца. В точности как на векторы и дуальные векторы.
Индексы тензора также можно поднимать и опускать с помощью метрики. По аналогии с рассмотренным в 10 части поднятием и опусканием индекса вектора. Именно поэтому используется позиционная запись индексов когда противоположное место индекса пустое. Тогда при поднятии или опускании он останется на своей позиции. Порядок следования индексов имеет значение. Tμν≠Tνμ. В матричной записи смена порядка соответствует транспонированию.
В случае тензора с двумя и более индексами можно применить правило суммирования Эйнштейна к индексам одного и того же тензора. При этом ранг тензора уменьшается на 2. Такая операция называется сверткой. Это пример того как из одних тензоров можно получать другие. Опять же, местоположение индексов имеет значение и свертка разных индексов дает разные тензоры.
Возьмем, например, тензор кривизны Римана о котором мы поговорим позже. Он имеет 4 индекса – один верхний и три нижних. Если выполнить свертку по верхнему и среднему нижнему индексу, то получим тензор второго ранга, который называется тензором кривизны Риччи. Мы можем поднять один индекс у тензора Риччи и выполнить свертку еще раз. Тогда мы получим число, называемое скалярной кривизной или скаляром Риччи.
Можно также производить суммирование по индексам разных тензоров и тоже получать новые тензоры.
Тензоры можно складывать если количество и расположение индексов совпадает. Так, например, тензор Эйнштейна равен тензору Риччи минус скалярная кривизна, умноженная на метрику. Обратите внимание, что индексы справа и слева равенства совпадают.
Следует понимать, что не все объекты, имеющие индексы являются тензорами. Так матрица преобразований Лоренца не являются тензором.
Метрика Минковского является тензором. Вообще любая метрика является тензором, называемым метрическим тензором. Символ Кронекера также является тензором.
Но помимо преобразований Лоренца, встречаются и другие объекты с индексами, не являющимися тензорами. Символы Кристоффеля, например.
Тензоры отличаются от других величин с индексами тем как они ведут себя при смене системы координат. Тензор, как и вектор – это математический объект, который сам не меняется при смене системы координат. Длина вектора не меняется. Свернув все индексы, тензору также можно поставить в соответствие число, аналог длины, и оно не будет меняться при смене координат.
Меняться будут компоненты вектора или тензора. Они зависят от выбора базисных векторов и системы координат. Но тензор как абстрактный математический объект при смене системы координат не меняется.
Мы также видели в 7 части, что преобразования Лоренца можно рассматривать как смену системы координат, ее гиперболический поворот. Именно поэтому тензоры, как и векторы, не меняются при действии преобразований Лоренца, а сами преобразования Лоренца не являются тензором.
Именно поэтому уравнения физики, записанные в тензорах, обладают дополнительной математической красотой. Говорят, что они Лоренц-ковариантны. Имеется в виду опять же, что уравнение будет справедливо для всех наблюдателей, хотя компоненты тензоров будут меняться при смене системы отсчета.
Теория относительности родилась из классической электродинамики. Уравнения Максвелла изначально справедливы во всех инерциальных системах отсчета. Но из их первоначальной записи это далеко не очевидно. Они записаны не в ковариантном виде.
Однако их можно переписать используя тензоры.
Оказывается, электрические и магнитные поля являются компонентами так называемого тензора электромагнитного поля. Компоненты, как мы сказали, меняются при переходе к другой системе отсчета, но тензор как математический объект – нет.
Уравнения Максвелла можно переписать в ковариантной форме используя этот тензор и 4-вектор тока j.
В итоге вместо 4 уравнений получается 2 и тензорная запись сразу показывает, что они выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Преобразования Лоренца не меняют их вид, хотя разные наблюдатели будут видеть разные значения электрических и магнитных полей – компонент электромагнитного тензора.
Другой пример – это знаменитое уравнение Эйнштейна ОТО. В левой части равенства стоят тензоры, имеющие отношение к геометрии пространства: тензор Риччи, скалярная кривизна, метрика. В правой части равенства стоит тензор энергии-импульса. Опять же запись ковариантна. И заметьте расположение индексов совпадает у каждого слагаемого.
Даже не вдаваясь в математические детали, из уравнения видно, что импульс, энергия, а значит и масса по формуле E=mc2, они влияют на кривизну пространства-времени.
