Относительность 19 — Уравнение Эйнштейна

Физическая интуиция Эйнштейна конечно впечатляет. Он не был выдающимся математиком, но его физические идеи восхищают. Сложно представить себе как можно додуматься связать гравитацию (силу открытую в незапамятные времена еще самим Ньютоном) с кривизной пространства-времени. И то что энергия (и соответственно масса по формуле E=mc2) искривляет пространство-время.

Конечно идея не пришла ему во сне. Он отталкивался от своего принципа эквивалентности о котором мы говорили в 13 части. В общем это интересная история о которой следует поговорить в отдельном в цикле о истории науки.

Итак, идею Эйнштейна можно выразить в виде: Энергия=искривление пространства-времени.

Эйнштейну понадобилось 10 лет чтобы перевести эту гениальную мысль на язык математики.

Риманова геометрия тогда считалась сложной и чрезвычайно абстрактной областью математики. Она никогда ранее не применялась в физике. Но Эйнштейну пришлось изучить ее.

Он знал, что кривизна пространства описывается тензором кривизны Римана. Из его СТО следовало, что энергия вместе с импульсом образуют 4-вектор энергии-импульса.

Логичной идеей было бы приравнять их.

Но так не получится. У тензора кривизны 4 индекса, а у энергии-импульса только один. Мы конечно же можем уменьшить число индексов у тензора кривизны операцией свертки о которой мы говорили в 12 части. Свернув верхний индекс с нижним получим тензор второго ранга, называемый тензором Риччи. Мы даже можем свернуть этот тензор Риччи по двум его  индексам и получим скалярную кривизну.

В принципе мы можем также умножить 4-вектор энергии импульса на соответствующий дуальный вектор и тоже получить скаляр – квадрат массы. Но уравнение R = m2 мало что дает.

Эйнштейн подумал, раз мы не можем из тензора кривизны получить 4-вектор, то надо попробовать у энергии-импульса увеличить число индексов, хотя бы до двух.

Это конечно же шутка и Эйнштейн так никогда не мыслил. Но все же имеется возможность обобщить 4-вектор энергии-импульса и получить  тензор энергии-импульса. Тензор второго ранга с двумя индексами.

Конечно если рассматривать только частицу, то 4-вектора энергии-импульса для нее достаточно. Но ОТО – это теория поля. Классическая теория поля, не квантовая. А поле в точке имеет больше степеней свободы чем частица. Представьте себе небольшой объем жидкости. Вместо энергии тогда надо перейти к плотности энергии. Но также у нас появляются и другие величины – давление, механические напряжения, сдвиг. Все это можно релятивистски-инвариантным образом обобщить и записать тензор энергии-импульса.

Теоретически мы можем его приравнять тензору Риччи, который характеризует кривизну пространства-времени. Но как выясняется такая теория не дает правильных предсказаний, она не сводится к Ньютоновской теории гравитации. А в науке эксперимент является критерием истины. Все что противоречит эксперименту отбрасывается как неверное.

Эйнштейн долго искал (более 10 лет) какой  же тензор можно подставить в левую часть равенства чтобы теория корректно описывала гравитацию. И в 1916 г он наконец-то нашел его. Оказывается к тензору Риччи просто надо было прибавить скалярную кривизну, умноженную на метрику. Ну и еще численный коэффициент -1/2 появляется. Данный тензор называется тензором Эйнштейна.

Уравнение Эйнштейна выглядит следующим образом. В левой части равенства стоит тензор Эйнштейна, описывающий кривизну пространства-времени. В правой – тензор энергии-импульса с константой, которая нужна чтобы теория давала те же численные результаты при переходе к Ньютоновскому пределу.

Вы можете подумать, что я не привел самого главного – вывода уравнения Эйнштейна из первых принципов. Но дело в том, что уравнение Эйнштейна ниоткуда не выводится. Оно постулируется. Это постулат, справедливость которого оценивается только из критерия соответствия предсказаний теории экспериментально наблюдаемым данным. И теория Эйнштейна чрезвычайно точно описывает наблюдения. До настоящего времени ни одно предсказание теории не противоречит наблюдениям, а наоборот согласуется с ними. Теория предсказала ряд эффектов отсутствующих в Ньютоновской гравитации и подтвержденных экспериментально с высокой точностью.

Но однажды Эйнштейн подумал, что его теория все же противоречит наблюдениям. Выяснилось, что в космологических масштабах она предсказывает, что Вселенная должна расширяться. А в то время надо сказать была общепринятой теория стационарной Вселенной. Бесконечной во времени и пространстве и статичной.

Вы можете сказать как она может быть бесконечной во времени. Все звезды потухли бы давно. Но ученые, приверженцы стационарной Вселенной посчитали, что для того чтобы Вселенная была такой какую они тогда наблюдали достаточно чтобы одна единственная элементарная частица самозараждалась из вакуума в очень большом объеме, космологических масштабов объеме. В общем оглядываясь назад, теория напоминает теорию самозарождения жизни когда считали, что опарыши самозарождаются из мяса. Удивительно, но даже Эйнштейн с его потрясающей физической интуицией верил в теорию  стационарной Вселенной.

Чтобы ОТО предсказывала стационарную Вселенной он добавил в свое уравнение еще одно слагаемое – константу, умноженную на метрику. Математически это можно сделать. У метрики тоже 2 индекса. Физически данное слагаемое в уравнении компенсировало расширение Вселенной.

Но как позже выяснилось это равновесие между расширением и сжатием даже с добавлением этой космологической постоянной получается неустойчивым. Константа лямбда должна быть очень точно подогнана чтобы Вселенная не расширялась и не сжималась. Позже когда Хаббл экспериментально обнаружил расширение Вселенной, Эйнштейн назвал введение лямбда-члена в свое уравнение самой большой ошибкой в жизни. Теория изначально очень красива. Вводить что-то искусственно чтобы подогнать теорию под эксперимент нарушает всю красоту.

Однако с математической точки зрения это слагаемое с космологической постоянной лямда все-же допустимо в уравнении. Нет никакой причины почему коэффициент лямбда должен быть нулевым. И в 1990-х с появлением нового поколения телескопов выяснилось, что действительно космологическая постоянная не равна нулю. Она очень мала, но ненулевая.

Как это обычно оказывается – если имеется какая-то возможность, то Природа ей обязательно воспользуется. Это кстати один из аргументов почему в Природе должна существовать суперсимметрия, еще не открытая экспериментально, но допустимая теоретически и красивая математически.