Теория групп 20 — Четыре-вектор как два-спинор

В предыдущем видео мы рассмотрели два представления группы Лоренца (1/2, 0) и (0, 1/2). Матрицы бустов и поворотов в этих представлениях действуют на правый и левый спиноры Вейля.

По аналогии с индексными обозначениями векторов и тензоров удобно ввести индексное обозначение и для спиноров.Чтобы не путаться, спинорные индексы будем обозначать латинскими буквами.

Левый спинор Вейля обозначается нижним индексом. Правый спинор Вейля – верхним индексом с точкой.

В отличие от векторных индексов, тензорные индексы пробегают не 4 значения t, x, y, z, а только два: -1/2 и +1/2. Соответственно спинор является двухкомпонентным объектом.

Также как и с обычными 4-векторами мы можем поднимать и опускать спинорные индексы. Именно поэтому чтобы отличить левый спинор от правого используют точку над индексом. Одно только верхнее или нижнее положение индекса не говорит о типе тензора.

Для поднятия и опускания индекса, по аналогии с векторами, нам понадобится спинорная метрика о которой мы уже говорили в 13 части. Метрика с нижними индексами отличается на множитель -1. Их произведение дает единичную матрицу.

Матрицы преобразований Лоренца, которые находятся экспоненцированием генераторов бустов и поворотов, мы также можем записать в индексных обозначениях.

Матрицы будут размером 2х2 поскольку у нас два индекса и каждый может принимать два значения. Также это можно видеть из того, что они получаются экспоненцированием матриц Паули – матриц 2х2.

Мы можем формально записать действие преобразований Лоренца на спиноры Вейля в таком индексном обозначении.

Можно проделать несложные вычисления и найти чем будут отличаться матрицы преобразований Лоренца, действующие на поднятый индекс у левого спинора и на нижний индекс правого спинора. Рекомендую всем это сделать.

А мы теперь перейдем к представлению (1/2, 1/2) группы Лоренца. Видно, что оно представляет из себя комбинацию правого и левого спиноров. В индексном обозначении это будет объект с двумя спинорными индексами: нижний без точки и верхний с точкой. У такого объекта будет 4 компоненты. И как вы наверное догадались – это векторное представление. У пространственно-временных векторов также 4 компоненты.

Однако в спинорной записи объект имеет два индекса и его логичнее представить матрицей – матрицей 2х2.

В 13 части мы видели как 4-вектор можно представить матрицей 2х2. Его надо разложить в базисе матриц Паули плюс единичная матрица. Такая матрица на самом деле и будет явным представлением нашего объекта с двумя спинорными индексами спинором второго ранга.

Давайте покажем в матлабе, что действие двух Лоренцевых бустов в спинорном представлении на такой объект эквивалентно действию обычных бустов на 4-вектор.

Зададим единичную матрицу и три матрицы Паули. Зададим матрицы генераторов Лоренцевых бустов. Возьмем три случайных угла и 4-вектор со случайными координатами.

Получим матричное представление этого 4-вектора.

Теперь полагая, что этот объект является на самом деле комбинацией правого и левого спинора, подействуем на каждый лоренцевым бустом в спинорном представлении. Он как раз получается экспоненцированием матриц Паули, умноженных на соответствующий половинный угол.

Также подействуем на наш 4-вектор Лоренцевым бустом, полученным экспоненцированием генераторов К, умноженных на углы. Множителя ½ в случае векторов уже нет.

Теперь чтобы сравнить повернутый вектор с повернутой матрицей надо опять составить матричное представление вектора.

Либо, второй вариант, из повернутой матрицы s надо получить вектор. Каждую из компонент вектора можно получить скалярным произведением с базисным. Но базисом у нас служат матрицы Паули. А для матриц скалярное произведение находится как след от их произведения.

Видно, что у нас совпадают повернутый вектор и вектор, полученный из повернутого спинора ранга. А также совпадают повернутый спинор и спинор, полученный из повернутого вектора.

В общем вектор можно мыслить состоящим из двух спиноров, по аналогии как тензор второго ранга можно мыслить состоящим из двух векторов.

По сути вектор это и есть спинор второго ранга.

Поэтому спинор является более фундаментальным объектом нежели вектор. И в физике существуют объекты, которые можно описать спинорами, но невозможно векторами.