Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена
Вероятностная формулировка квантовой механики многим не давала покоя. Наиболее известна критика Эйнштейна в его совместной статье с Подольским и Розеном. Сейчас она известна как парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена.
Пусть где-то в центре галактики при радиоактивном распаде частицы образуются две другие частицы со спинами в запутанном синглетном состоянии. Эти частицы разлетаются в разные стороны. Наблюдатели на разных концах галактики проводят эксперименты по измерению спина, то есть пропускают частицы через прибор Штерна-Герлаха. Как мы видели в предыдущем видео, синглетное состояние обладает сферической симметрией. То есть если наблюдатели выберут одинаковые направления осей приборов Штерна-Герлаха, то измерения спинов окажутся антикоррелированы.
Если у одного частица отклонилась вверх по оси z, то у другого частица точно отклонится вниз. Если они скажем выбрали направление х, то тоже, если у одного частица отклонится вверх, то вторая частица точно отклонится вниз. Что же будет если наблюдатели выберут разные направления осей? Пусть скажем один выбрал ось z, а другой ось x. Какова вероятность того, что если одна частица окажется со спином «вниз» по оси z, спин второй окажется направлен вверх по оси x?
Можно опять же посчитать эту вероятность с помощью операторов проекции, аналогично предыдущему видео. Вероятность будет равна ожидаемому значению оператора проекции, соответствующего спину вниз по z первой частицы и спину вверх по x второй. Этот оператор проекции удобно разбить на тензорное произведение двух операторов. Первый соответствует спину вниз по z первой частицы, а второй спину вверх по x второй частицы.
Посчитаем эту вероятность в матлабе. Зададим матричные представления кет-векторов «вниз по z» и «вверх по х». Зададим операторы проекции через произведение Кронекера соответствующих кет- и бра- векторов. Pz и Px это матрицы 2×2. Требуемый нам оператор проекции есть тензорное произведение этих двух операторов. Для матриц оно также выполняется функцией kron. Зададим матричное представление синглетного состояния. Нормирование добавляет множитель. Искомая вероятность есть ожидаемое значение оператора проекции. Запустив программу мы получим 25%.
Можно аналогично посчитать вероятности оставшихся трех комбинаций: «вверх-вниз», «вверх-вверх» и «вниз-вниз». Мы также получим по 25%. Например, вверх по z это вектор [1 0]. Запустив получим 25%. То есть все четыре варианта равновероятны. Квантовые корреляции отсутствуют.
Итак, еще раз. Если один наблюдатель измерил спин по оси z, а другой измерил спин по оси x, то их результаты никак не будут связаны друг с другом. Спины равновероятно могут получиться одинаковыми или противоположными. Однако если первый наблюдатель измерил спин по оси z и он оказался скажем «вверх», то спин второй частицы по той же оси z уже не случаен. Он точно направлен вниз. Складывается впечатление что один наблюдатель своим измерением может влиять на результаты эксперимента другого. Если он выбрал перпендикулярное направление оси, то результат измерения второго спина будет случаен. Если же он измерил спин по той же оси, то результат для второй частицы уже будет не случаен, а строго определен.
Эйнштейн об этой ситуации рассуждал примерно так: Предположим, что спин не определен до результата измерения, а имеет только вероятностную интерпретацию как говорит квантовая механика. Тогда получается, что измерение спина первой частицы на одном конце галактики оказывает влияние на вторую частицу на другом конце галактики. Ведь ее спин из неопределенного мгновенно стал определен. Но такое невозможно поскольку согласно его же теории относительности информация не может распространятся быстрее скорости света. То что происходит с первой частицей на одной стороне галактики не может мгновенно повлиять на вторую частицу на другой стороне галактики. Данный принцип называется локальность. В этом и заключается парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена.
Пытаясь его разрешить Эйнштейн приходит к выводу, что неверно само предположение, что спин не определен до момента измерения. Эйнштейн говорит: спин был определен и до измерения, просто мы не знали его значение. Вероятности не являются фундаментальными, а просто отражают отсутствие у нас полной информации. Забегая немного вперед скажу что Эйнштейн был не прав. Спин действительно не определен до измерения и Джон Белл показал как этот факт можно проверить экспериментально. И он был проверен экспериментально и результаты говорят в пользу квантовой механики. Однако в то же время принцип локальности не нарушается. Информацию мгновенно передать невозможно. И именно вероятностная интерпретация квантовой механики гарантирует это. И первый и второй наблюдатели при измерении спина обнаруживают абсолютно случайный результат. С 50%-ой вероятностью частица отклонится вверх и с 50%-ой вниз.
Чтобы второй наблюдатель мог предсказать со 100%-ой вероятностью куда отклонится вторая частица, первый должен сообщить ему результат своего измерения. А для этого ему необходимо передать информацию, например, послав сигнал, который в свою очередь распространяется максимум со скоростью света. Без этой информации измерение проведенное одним наблюдателем никак не влияет на вероятности второго. Только сверив результаты своих измерений наблюдатели могут обнаружить существование корреляций.
Эйнштейн неявно предполагал, что пространственно-разнесенные частицы можно рассматривать отдельно друг от друга, как две независимые подсистемы. Это справедливо в классической механике, но не в квантовой. Вектор синглетного состояния нельзя представить как тензорное произведение двух векторов, каждый из которых относится к отдельной частице. Говорят что синглетное состояние является примером несепарабельного квантового состояния.
Синглетное состояние полностью характеризует систему из двух спинов и их корреляции, но ничего не может сказать о каждом из спинов по-отдельности.
