Кубит. Поляризация фотона.

Четырнадцатая часть элементарного введения в квантовую механику.

Все квантовые системы с двумя состояниями являются различными физическими реализациями квантового бита – кубита. Мы довольно много времени уделили конкретной квантовой системе с двумя состояниями — спину электрона. На самом деле таких систем можно найти множество. Их математика идентична рассмотренной нами на примере спина. Так поляризация фотона описывается той же математикой.

Известно, что классическая электромагнитная волна может иметь линейную поляризацию, например по оси x. Причем если волна поляризована по оси x, то она точно не поляризована по перпендикулярной оси y. Поряризатор в этом случае ведет себя аналогично прибору Штерна-Герлаха. Разница только в значениях углов. Чтобы не пропустить ни одного электрона, два прибора Штерна-Герлаха должны быть расположены под углом 180 градусов друг относительно друга. То есть векторы состояния вверх и вниз ортогональны. Поляризаторы необходимо располагать под углом 90 градусов, чтобы не пропустить ни одного фотона. Векторы состояния поляризации, соответствующие  перпендикулярным осям, например x и y в этом случае ортогональны. В качестве оператора линейной поляризации можно взять матрицу Паули сигма z. Собственному значению +1 будет соответствовать линейная поляризация по оси x, а значению -1 по оси y.

В отличие от приборов Штерна-Герлаха, чтобы получить 50%-ю вероятность прохождения фотона, два поляризатора должны быть повернуты на 45 градусов друг относительно друга, а не на 90. То есть если повернуть x-y поляризаторы на 45 градусов, получим другой базис. Он будет соответствовать повороту прибора Штерна-Герлаха на 90 градусов в случае спина. Такой конфигурации поляризаторов можно поставить в соответствие  оператор сигма x.

Как вы уже можете догадаться круговой поляризации соответствует оператор сигма y.

Если не привязываться к конкретным углам, вся математика поляризации фотона идентична спину электрона и описывается теми же самыми матрицами Паули. Так вероятность прохождения фотоном двух поляризаторов, повернутых на угол альфа, будет описываться полученной в 12 части формулой для спинов. За исключением множителя 2 перед углом.

Наиболее общий вектор состояния поляризации фотона можно представить суперпозиций каких-либо базисных векторов, например x и y для линейной поляризации. При математическом рассмотрении кубита обычно не привязываются к электронам, фотонам или другим квантовым системам с двумя состояниями. Два базисных вектора можно обозначить как единицу и ноль. Но надо четко понимать в чем разница по сравнению с классическим битом. Научно-популярное объяснение обычно сводится к тому, что кубит одновременно находится в состоянии 0 и 1. На мой взгляд такое утверждение только запутывает.

Кубит характеризуется двумя комплексными числами в выбранном базисе. То есть в общем случае суперпозицией базисных векторов с комплексными коэффициентами. Важно то, что мы имеем свободу выбора базиса. Можно выразить одни базисные векторы через другой базис и разложить тот же самый кубит по другим базисным векторам. Но базисные векторы есть собственные векторы эрмитового оператора, который соответствует какой-то измеряемой величине. То есть мы имеем свободу выбора измеряемой величины.

В случае монетки, классическому биту соответствует одна измеряемая величина – сторона монетки. В случае спина или поляризации мы имеем возможность выбора одной из бесконечного множества измеряемых величин, задаваемых направлением оси. Математически, измеряемые величины кубита характеризуются различными комбинациями трех матриц Паули.

Описание в виде суперпозиции подразумевает, что классические величины не определены до получения информации о результате измерения. То есть не надо представлять себе суперпозицию как объективно существующий физический объект. Это приведет к противоречиям типа кота Шредингера.

При измерении мы как раз получим классический бит, соответствующий первому или второму слагаемому суперпозиции. Квадрат абсолютного значения компонент вектора состояния есть вероятность. Но значения этих компонент опять же зависят от выбранного базиса. То есть вероятность выпадения нуля и единицы при измерении того же самого кубита  зависит от выбранной измеряемой величины.

Вобщем кубит является достаточно сложным объектом. Как мы увидим в дальнейшем одного единственного кубита достаточно даже для наблюдения явления интерференции.