Оператор спина
Девятая часть элементарного введения в квантовую механику.
Квантовая механика, также как и классическая, представляет собой набор постулатов. В отличие от Ньютоновской механики они настолько абстрактны и неинтуитивны, что неизбежно возникает вопрос почему эти постулаты именно такие, а не другие и как ученые вообще пришли к ним. На самом деле этот путь был достаточно долгим. Если за начало отсчета брать введение Планком своей знаменитой постоянной, то это 1900 год. Законченный вид квантовая механика приобретает только в 1925 – 1927е года. А широко используемые сейчас обозначения бра- и кет- векторов были введены Дираком только в 1939 году.
Следует понимать, что исторически ученые двигались «снизу вверх». Сначала они пытались объяснить наблюдаемые в экспериментах явления через известные классические законы. Из-за возникающих противоречий строили новые гипотезы. Сверяли их следствия с результатами наблюдений. И так по кругу. Научный прогресс сопровождался чередой проб и ошибок и непрерывным сопоставлением с экспериментом. То есть фактически итоговые постулаты квантовой механики навязаны экспериментальными данными.
Как говорят: эксперимент — критерий истины.
Мы же не будем придерживаться исторического пути развития и пойдем по пути «сверху вниз». То есть посмотрим как квантовая механика в ее современной абстрактной формулировке приводит к нетривиальным следствиям и позволяет предсказать и объяснить результаты экспериментов.
Итак, первый постулат звучит так: наблюдаемым величинам соответствуют эрмитовы операторы. Оператор называется эрмитовым или самосопряженным если операция эрмитового сопряжения не меняет вид оператора. В матричном представлении оператора это значит, что по главной диагонали должны стоять действительные числа, а элементы, расположенные друг напротив друга относительно диагонали являются комплексно сопряженными. Действительно, при эрмитовом сопряжении такой матрицы, то есть при транспонировании и последующем комплексном сопряжении, мы получим ту же самую матрицу. Согласно постулату, такими операторам соответствуют измеряемые величины, называемые в квантовой механике наблюдаемыми: координата, импульс, энергия, спин.
Но вы можете сказать – результатом измерения всегда является число, а не оператор или матрица. Действительно это так. Поэтому мы подходим ко второму постулату.
Результатом измерения физической величины может быть только одно из собственных значений соответствующего этой величине оператора.
Поясним эти постулаты на примере спина электрона. Спин электрона можно измерить, например, посмотрев куда отклонится электрон в приборе Штерна-Герлаха. Мы разбирали этот опыт во второй части. Давайте будем измерять спин относительно оси z. Согласно постулату, спину по оси z должен соответствовать оператор. Назовем его Sz. Его можно представить как половина постоянной Планка, умноженной на следующую матрицу.
Заметьте, что это эрмитова матрица. Найдем ее собственные значения воспользуясь маткадом. Как видим у данной матрицы два собственных значения: +1 и -1. Итак, первое собственное значение оператора Sz это +1/2 h, соответствующее спину вверх по оси z. Второе собственное значение это -1/2 h, соответствующее измеренному спину вниз. Согласно постулату мы не можем получить никакое другое значение спина при измерении, потому что у оператора спина больше нет других собственных значений. Соответственно электрон не может попасть ни в какие другие точки на экране кроме двух возможных. Мы наблюдаем эффект квантования, то есть дискретности, который отсутствует в классической физике. Обычно постоянную Планка принимают равной единице. Тогда электрон имеет полуцелый спин +1/2 или -1/2.
Приведенные постулаты универсальны и применимы к любой измеряемой величине. Так энергия атома также описывается эрмитовым оператором. Собственные значения этого оператора будут соответствовать энергетическим уровням, обсуждаемым в первой части. Задача вычисления спектров атомов таким образом сводится к задаче нахождения собственных значений соответствующих операторов.
Вы можете задастся вопросом: как же найти конкретный вид оператора для интересующей нас физической величины. На самом деле это нетривиальная задача. Четкого алгоритма для ее решения не существует. Как мы увидим в дальнейшем, вид некоторых операторов похож на вид классических Ньютоновских величин. С другой стороны, некоторые операторы вообще не имеют классических аналогий, взять тот же спин. Одни операторы можно построить из других операторов, но обычно вид операторов приходится просто интуитивно угадывать и проверять свои догадки сопоставлением с экспериментальными данными.
Кстати обратное утверждение, то что любому эрмитовому оператору соответствует какая-то наблюдаемая величина тоже верно. Однако здесь возникает другая проблема – узнать что же это за величина и как ее можно измерить.
