Теория групп 12 — Гомоморфизм SU(2) и SO(3). Спиноры и векторы.

Итак, спинор — это вектор, живущий в двумерном комплексном пространстве. То есть его можно представить как вектор с двумя комплексными координатами – компонентами вектора.

Спинор можно повернуть, действуя на него элементами группы SU(2). Элементы группы находятся экспоненцированием генераторов группы. Мы пришли к группе SU(2) через кватернионы i j k, но в физике обычно все формулируют через их матричные представления: -i умноженное на Матрицы Паули. Фактически матрицы Паули являются генераторами группы SU(2) и их экспоненцирование дает элементы группы – унитарные матрицы 2×2.

Действие элемента группы должно оставлять неизменной какую-то величину. В случае обычных поворотов вектора неизменной остается длина вектора. В случае комплексных векторов (спиноров) ее аналогом служит норма вектора. Для нахождения квадрата нормы также используется скалярное произведение: надо умножить вектор-строку на вектор-столбец. Но помимо транспонирования необходимо еще выполнить комплексное сопряжение. Такая операция называется эрмитовым сопряжением и обозначается крестиком.

Операции поворота согласно теории представлений групп соответствует матрица. Повернем спинор. Найдем сопряженный спинор. Квадрат нормы находится умножением сопряженного спинора на исходный. Если матрица не меняет норму, то ее эрмитово сопряжение должно равняться обратной матрице. Это и есть условие унитарности.

Элементы группы SU(2), получающиеся экспоненцированием матриц Паули,  как раз являются унитарными матрицами размером 2х2.

Каждому спинору можно поставить в соответствие обычный вектор в трехмерном пространстве. Как же найти этот вектор зная спинор? Не будем приводить вывод, а сразу запишем формулы. Декартовы координаты вектора x y z находятся как эрмитово сопряженный спинор (вектор-строка), умноженный на соответствующую матрицу Паули и умноженный на исходный спинор (вектор-столбец).

Посмотрим как это работает. Зададим спинор в виде вектор-столбца [1 0]. Посмотрим какому трехмерному вектору он соответствует. Видим, что x y координаты равны нулю, а z-координата единице. Вектор направлен по оси z.

Зададим элемент группы SU(2) матричным экспоненцированием матрицы Паули σ_y, то есть будем поворачивать спинор вокруг оси y на угол скажем π/4.

Подействуем оператором на спинор. Запустим программу. Видим, что x-координата равна единице, а y и z в пределах погрешности равны нулю.

Несмотря на то, что мы повернули спинор на угол π/4, соответствующий вектор повернулся на угол π/2 и направлен теперь не по оси z, а по оси x. Угол всегда получается вдвое большим. Повернем, например, спинор на угол π/8. Видим, что x и z координаты равны 1/sqrt(2) 0,707, а y-координата нулю. То есть вектор направлен между осями x и z в плоскости xz, то есть повернулся на 45°, π/4, хотя спинор повернут на π/8.

Заметьте также, что у спинора есть еще одна дополнительная степень свободы. Мы можем, например, поставить знак минус у спинора, но запустив программу видим, что вектор остался тем же. Мы можем домножить спинор на мнимую единицу и вектор тоже не поменяется. Мы можем домножить спинор на произвольный фазовый множитель e^iα и вектор все равно не изменит направления.

Можно представить себе спинор как вектор с флагом на конце. Помимо того, что направление вектора может меняться, флаг на конце также может поворачиваться. Этот угол как раз соответствует углу α в фазовом множителе. Но все-таки это очень грубая аналогия. Спинор есть двухкомпонентный вектор, живущий в комплексном пространстве и у него нет прямых аналогий в обычном трехмерном пространстве. Так спиноры [1 0] и [0 1] соответствуют векторам направленным по осям z и –z. Но если найти их скалярное произведение, то оно окажется равно нулю. Спиноры ортогональны, но соответствующие им векторы параллельны.

Опять же так получается из-за разности в углах и двойного покрытия группой SU(2) группы SO(3). Поворот группой SO(3) вектора на 2π приводит как ни странно к повороту на 2 π. Но поворот группой SU(2) спинора на 2π приводит к повороту соответствующего вектора на 4π. Выходит два разных элемента группы SU(2) соответствуют одному элементу группы SO(3). Мы на самом деле имеем не изоморфизм (соответствие 1 к 1), а как говорят математики, гомоморфизм (соответствие несколько к одному). В нашем случае 2:1. Или изоморфизм SU(2)/Z2=SO(3).

В группах Ли большое количество информации о группе можно получить из самих генераторов. Так и эту особенность с углами можно видеть непосредственно из генераторов.

Коммутатор генераторов группы SU(2), матриц Паули, выглядит следующим образом. Коммутатор генераторов группы SO(3), приводимых в 7 части, выглядит также, но без множителя 2i. Мнимая единица тут появляется потому что с математической точки зрения правильнее генератором считать не матрицы Паули, –i умноженный на матрицы Паули. В любом случае, тут важнее появление множителя 2, который и отражает двойное покрытие.

Как же наоборот найти спинор если нам известен вектор? Опять не будем приводить вывод, а сразу результат. Из заданных декартовых координат вектора x y z необходимо составить матричное представление этого вектора, то есть разложить его в базисе матриц Паули. Собственный вектор такой матрицы, соответствующий собственному значению +1, и будет искомым спинором. Например вектору, направленному по оси z, будет соответствовать матрица Паули σ_z. Ее собственный вектор, соответствующий собственному значению +1 равен [1 0]. Но как мы видели это и есть спинор, соответствующий вектору, направленному по оси z.

Вспомните также, что собственные векторы не уникальны. Собственный вектор, умноженный на число также будет собственным вектором. Если мы ограничиваемся векторами единичной длины, то это число будет фазовым множителем. e^αi умноженное на собственный вектор также будет собственным вектором. То есть дополнительная степень свободы спинора сохраняется. Обычный вектор не уникально определяет спинор.

Те из вас кто смотрел цикл видео по квантовой механике наверное помнят, что мы много времени потратили изучая собственные векторы матриц Паули. Мы их записывали в обозначениях Дирака бра- и кет- векторами со стрелочками. Да, это и есть спиноры.

Приведенные нами формулы можно переписать в формализме Дирака. Так квадрат нормы находится как умножение бра-вектора на кет-вектор. А формула для нахождения декартовых координат вектора из спинора есть просто ожидаемое значение матриц Паули.