Квантовая механика 54 — Теорема о запрете сверхсветовых коммуникаций

Пусть у нас имеются два электрона со спинами ориентированными вверх по z. Вектор состояния такой комбинированной системы равен тензорному произведению векторов каждого электрона. Соответствующий вектор-столбец будет уже 4-х компонентным.

 Мы можем найти матрицу плотности либо вычислив оператор проекции из двуспинового вектора либо тензорно помножив матрицы плотности двух односпиновых векторов. Результирующая матрица будет размером 4х4.

Такие состояния когда результирующую матрицу можно разложить на произведения матриц подсистем называются сепарабельными. Но мы знаем, что существуют и несепарабельные т.е. запутанные состояния, когда такое сделать невозможно.

Пусть нейтральный пи-мезон распадается на электрон и позитрон. Электрон остается у Алисы, а позитрон попадает Бобу. Спины электрона и позитрона будут находиться в запутанном синглетном состоянии. Если спин Боба окажется вверх по z, то у Алисы он будет вниз и наоборот.

Найдем соответствующую матрицу плотности. Ее уже нельзя представить как произведение матриц плотности двух подсистем. Однако представим, что Алиса находится далеко от Боба и ее интересует только ее спин. Как ей описывать свою подсистему?

Для этого нам понадобится операция, называемая частичным следом. Обычный след – это просто сумма диагональных элементов матрицы. Но можно рассматривать след как отображение матрицы в число. Частичный след – это операция, отображающая матрицу в матрицу меньшего размера.

Так вот матрица плотности подсистемы Алисы равна частичному следу общей матрицы плотности по системе Боба. То есть частичный след как бы убирает Боба из рассмотрения.

Существует несколько способов вычислить частичный след. Приведем лишь одну формулу. I – это единичная матрица 2×2 в нашем случае.  b_i это базисные векторы подсистемы Боба. У нас их два: вверх и вниз.  То есть сумма у нас скрывает 2 слагаемых. В развернутом виде будет так.

То есть что происходит. Вместо подсистемы Алисы стоит единичный оператор, который ничего не делает, а в подсистеме Боба перебираются все возможные варианты состояний.

Ро в нашем случае это матрица 4х4. I – матрица 2х2. Бра-вектор это строка 1х2. Кет-вектор это столбец 2х1. Тензорное произведение матрицы 2х2 и строки 1х2 дает матрицу 2×4. То же самое для вектор-столбца даст размер 4х2. И если перемножить их с матрицей плотности 4х4, то результатом будет матрица 2х2. Это и есть матрица плотности Алисы, содержащая информацию только о ее подсистеме. Давайте найдем ее явный вид в матлабе.

Вычислим тензорное произведение единичной матрицы и векторов вверх и вниз. Частичный след это сумма двух слагаемых из трех произведений. Матрица 2х4 умножается на матрицу плотности 4х4 и на матрицу 4х2, получается матрица 2х2. И второе слагаемое это тоже матрица 2х2. Матрица плотности Алисы получилось содержит 0.5 в диагональных элементах и остальные нули.

Мы уже встречали такую матрицу. Она описывает смешанное состояние. Например, ее можно представить суммой 50%-ов электронов со спином вверх по z и 50% вниз по z. Для такой матрицы при измерении спина по любой оси, не обязательно z, получим 50% вверх и 50% вниз. Спин полностью неопределен. Не существует выделенного направления по которому спин точно окажется вверх.

Исходная матрица плотности синглетного состояния описывает чистое состояние. Ее квадрат равен ей же самой. Но матрица плотности подсистемы описывает смешанное состояние и ее нельзя получить ни из какого вектора состояния одного спина.

Это особенность квантовых запутанных систем не имеющая аналогов в классической физике. Мы знаем все о системе и описываем ее вектором состояния, но мы ничего не знаем о ее подсистемах и можем описывать их только смешанными состояниями, по сути классическими вероятностями.

 Если найти матрицу плотности подсистемы Боба, то в силу симметрии она окажется такой же, как и у Алисы. Но их произведение не даст исходной матрицы плотности синглетного состояния. Квантовая система в общем случае не является просто суммой подсистем.

С помощью частичного следа можно доказать так называемую теорему о запрете сверхсветовых коммуникаций. Квантовая запутанность не позволяет мгновенно передавать информацию. Что бы Боб не делал со своим спином запутанной пары это никак не сказывается на результатах экспериментов Алисы над ее спином.

Как это записать математически? Нам надо изменить подсистему Боба и посмотреть как при этом изменится матрица плотности Алисы. То есть считаем, что Боб что-то делает со своим спином, помещает его в магнитное поле например. Что при этом будет со вторым спином синглетной пары?

Все изменения вектора состояния в квантовой механике описываются действием на них унитарных операторов. Нам надо подействовать унитарным оператором на подсистему Боба и не трогать спин Алисы. Это значит, что унитарный оператор представляется тензорным произведением единичной матрицы 2х2 и унитарной матрицы 2х2.

Далее действуем этим оператором на матрицу плотности синглетного состояния и пересчитываем частичный след Алисы.

Зададим рандомную унитарную матрицу. Заметьте, что она содержит комплексные числа. Тензорное произведение с единичной матрицей. Подействуем унитарным оператором на матрицу плотности синглетного состояния. Пересчитаем матрицу плотности Алисы вычислив частичный след. И в пределах погрешности матрица плотности не изменилась. По диагонали 0.5 и нули в остальных местах. Поскольку матрица плотности не изменилась, Алиса никак не может сказать делал ли что-то Боб со своим спином запутанной пары.

Критичным для доказательства является условие унитарности. Если бы матрица не была унитарной, то частичный след получился бы другим. Но мы знаем в КМ одну операцию, описываемую не унитарной матрицей – процесс измерения. Он описывается действием оператора проекции, который не унитарен.

Зададим оператор проекции вверх по z, то есть считаем, что Боб измерил свой спин по оси z и он оказался направлен вверх. Умножаем тензорно на единичную матрицу чтобы получить матрицу 4х4. Действуем на матрицу плотности синглетного состояния. Затем перенормируем ее. И пересчитываем матрицы плотности Алисы и Боба.

Матрица Боба говорит, что со 100%-й вероятностью спин направлен вверх по z. Ну мы это знаем, ведь мы это задавали как исходные данные. А у Алисы оказалось что со 100%-й вероятностью спин при измерении окажется вниз по z. С одной стороны это тоже не удивительно потому что система находилась в запутанном состоянии. Но с другой стороны матрица плотности Алисы изменилась и это значит, что измерение, произведенное Бобом повлияло на спин Алисы.

Не совсем так. Во-первых с точки зрения Алисы она не проводила никаких измерений и значит не должна трогать свою изначальную матрицу плотности. Мы помним, что матрица плотности как и вектор состояния просто отражают субъективные знания наблюдателя и изменяются только при получении им новых данных. Если Алиса ничего не получала от Боба, то матрицу она не трогает.

К тому же процесс измерения Бобом его спина она рассматривает как формирование запутанного состояния между Бобом и измерительным прибором. Это аналог эксперимента друга Вигнера. Но формирование запутанного состояния — это унитарная операция как мы видели не приводящая к изменению матрицы плотности Алисы.

Даже если считать что у Боб измерил спин и для него произошел коллапс вектора состояния она не имеет права обновлять свою матрицу т.к. измерение производила не она.

Но вы можете сказать что вне зависимости от того какой матрицей сейчас описывает состояние своего спина Алиса на самом деле он должен описываться матрицей (0 1) по диагонали. Пусть так, но что это дает Алисе. Пусть она допускает, что Боб провел измерение над своим спином. Но она не знает какое из двух значений вверх или вниз он получил. Он с такой же вероятностью вместо вверх мог получить и вниз. Поэтому даже предположив, что Боб провел измерение она должна описывать свою систему смешанным состоянием 0.5 * оператор проекции вверх по z плюс 0.5 * оператор проекции вниз по z. Но это та же самая матрица (0.5 0.5) по диагонали. То есть опять же провел Боб измерение или не провел никак не повлияет на ее предсказания по измерению своего спина.

Ее матрица плотности изменится когда либо она проведет измерение своего спина либо когда Боб сообщит ей результат своего измерения.

Обратите внимание как на данном примере наглядно видно как сильно взаимоувязаны все ингридиенты КМ. Здесь и необходимость случайных чисел видна.

Если бы у Природы не было генератора абсолютно случайных чисел, если бы имелся какой-то скрытый механизм позволяющий до измерения предсказать результат единичного эксперимента, то описанные аргументы не работали бы. Мы получили бы сверхсветовую передачу информации и противоречие СТО. Случайные результаты единичных измерений необходимы.

Или если бы не работала теорема о запрете клонирования. Тогда Алиса могла бы сделать много копий своего спина и не получая информации от Боба проводя многократные измерения определить куда был направлен ее спин. То есть теорему о запрете клонирования можно доказать из предположения о невозможности сверхсветовых передач. Но мы изначально доказали ее из свойства линейности КМ и существования суперпозиций. Получается линейность и необходимость суперпозиций также связана с невозможностью превысить скорость света. Унитарные операторы тоже появляются из требования линейности и требования сохранения суммарной вероятности равной 100%. К тому же мы видели, что свойство унитарности необходимо опять же для запрета сверхсветовых скоростей. Но матрицы унитарных операторов содержат комплексные числа, поэтому они появляются везде: в уравнении Шредингера, волновых функциях, в коммутаторах, в матричных элементах операторов наблюдаемых величин.

Все эти казалось бы искусственно введенные элементы (случайности, суперпозиция, комплексные числа, линейность, унитарность) они на самом деле взаимосвязаны друг с другом и образуют жесткий каркас квантовой теории, который не так то просто изменить.