Квантовая механика 55 — Декогеренция в формализме матрицы плотности
Формализм матрицы плотности дает еще один способ объяснить почему мы не видим вокруг себя квантовые суперпозиции и почему классическая физика является хорошим приближением в случае макрообъектов. Несколько других подходов мы обсуждали в 50 части.
Матрицей плотности можно описывать как классические системы где работает стандартная теория вероятностей, так и квантовые где вероятности вычисляются по другому.
Возьмем смешанное состояние 0.5 * на оператор проекции «спин вверх по z» плюс 0.5 * на оператор проекции «спин вниз по z». Матрица плотности получается диагональной. По диагонали как раз стоят вероятности при измерении спина по оси z получить вверх и вниз. Такой матрицей можно описывать любую классическую систему с двумя состояниями. Монетку, например. Тогда эти вероятности будут вероятностями выпадения орла и решки. Никаких интерференционных эффектов такая матрица плотности не дает.
Возьмем теперь другой крайний случай – матрицу плотности квантовой суперпозиции вверх плюс вниз по z. По диагонали также стоят те же самые вероятности 50% при измерении получить вверх и 50% вниз. Но теперь внедиагональные элементы не равны нулю. И они как раз содержат в себе дополнительную информацию, которая и отличает КМ от классической теории вероятностей. Именно они ответственны за интерференцию.
То есть матрица плотности обобщает функцию распределения вероятностей. Если матрица диагональна, то она несет ту же информацию что и функция распределения. Но если внедиагональные элементы не равны нулю, то мы имеем обобщение и можем наблюдать отклонение от классического закона сложения вероятностей.
Теория декогеренции показывает почему на практике внедиагональные элементы имеют тенденцию уменьшаться и стремиться к нулю. То есть теряется когеренция. И объясняется это взаимодействием рассматриваемой системы с окружающей средой.
Информация, содержащаяся в этих внедиагональных элементах конечно же не исчезает. Она просто перераспределяется между множеством фотонов и других частиц окружающей среды. И восстановить ее на практике крайне сложно. В общем стандартная стрела времени и второе начало термодинамики.
Давайте рассмотрим простенькую модель на которой можно количественно посмотреть как уменьшаются внедиагональные элементы.
Возьмем спин изначально ориентированный вверх по z. Это будет наша рассматриваемая система. А также возьмем много других спинов пусть также изначально ориентированных вверх по z. Это будет окружающая среда. Найдем матрицу плотности система+окружающая среда. Изначально эта большая система сепарабельна. Каждый спин можно рассматривать независимо, никакой запутанности нет.
Теперь мы считаем, что система взаимодействует с окружающей средой. Мы это смоделируем действием унитарного оператора эволюции на нашу большую матрицу плотности система+окружающая среда. В качестве матрицы оператора эволюции возьмем просто рандомную унитарную матрицу. Взаимодействие приводит к тому, что спины оказываются запутаны друг с другом. Теперь нам надо отделить рассматриваемую систему от окружающей среды. Для этого возьмем частичный след от матрицы плотности по спинам окружающей среды. Останется матрица 2х2 спина нашей системы. И в ней нам как раз надо посмотреть как ведут себя внедиагональные элементы.
Давайте все это посчитаем в матлабе. Возьмем для начала три кубита. Один относится к системе и два к окружающей среде. Изначально все направлены вверх по z. Матрица плотности — это тензорное произведение N множителей, трех у нас пока. У меня они перемножаются в цикле. Рандомная унитарная матрица размером 2^N то есть 8х8 для трех спинов. Далее в цикле действуем унитарной матрицей на нашу матрицу плотности. И вычисляем частичный след. В формуле вычисления следа слагаемых будет 2^(N-1). На каждой итерации цикла будем выводить абсолютное значение комплексного числа – элемента (1,2) матрицы плотности. И найдем среднее значение этого элемента по всем итерациям цикла.
Запустим программу. На графике 300 точек. Они случайно разбросаны поскольку унитарная матрица у нас рандомная. Но в среднем абсолютное значение внедиагонального элемента получилось 0.2.
Вот так выглядит сама матрица плотности нашей системы на последней итерации цикла. По диагонали идут вероятности в сумме дающие единицу.
Давайте посмотрим что будет для 5 кубит. 1 кубит — система и 4-окр среда. Картинка примерно такая же но среднее внедиагонального элемента получилось уже 0.1. Для 7 кубит среднее 0.05. Для 10 кубит довольно долго считает, я промотаю для вас. Среднее получилось 0.02.
Матрицы U и rho для 10 кубит имеют размер 2^10 = 1024х1024. С учетом того, что их элементы – это комплексные числа получается в памяти они занимают несколько мегабайт. Понятно, что для 100 кубит мы посчитать не сможем потомучто 2^100 это больше чем количество атомов во Вселенной. Это проблема всех квантовых вычислений и именно поэтому люди хотят создать квантовый компьютер где такой проблемы не будет.
Но уже для 10 кубит видна тенденция. Я посчитал для всех кубит от трех до 10 и вот что получилось. По x отложено количество кубит по y среднее абсолютного значения внедиагонального элемента матрицы плотности системы. Видно, что с ростом числа кубит значения быстро уменьшаются. Насколько быстро? Можно попробовать аппроксимировать экспонентой. И действительно все точки в пределах погрешности лежат на экспоненте. Получается внедиагоналиные элементы матрицы плотности убывают экспоненциально быстро с ростом кубит окружающей среды.
Вокруг нас мириады фотонов реликтового излучения, света, облучающих вышек 5G и прочего. На практике сложно изолировать систему от окружающей среды. Это основная причина, тормозящая массовое производство квантовых компьютеров. И именно поэтому мы не видим суперпозицию кот жив + кот мертв. Для кота Шредингера матрица плотности диагональна. Именно поэтому в квантовых экспериментах обычно используют лазеры. Фотоны не имеют электрического заряда и поэтому относительно слабо взаимодействуют с окр средой.
Некоторые утверждают, что теория декогеренции решает так называемую проблему измерения. И даже что она позволяет вывести правило Борна. Но на самом деле она ничего особо нового не привносит. И правило Борна не выводит. Она основана на стандартных постулатах КМ и использует ее классический формализм. Да, когда матрица плотности становится диагональной, то можно сказать, что система находится в каком-то определенном состоянии и мы просто не знаем в каком. Но это всего лишь приближение. Внедиагональные элементы убывают экспоненциально быстро, но вообще говоря никогда не будут строго равны нулю. Они обнулятся только при наблюдении когда наблюдатель получит информацию о системе. И декогеренция не отменяет наблюдателя. Она не отменяет того, что у Природы должен быть идеальный генератор случайных чисел. Она также не позволяет предсказать какая именно из альтернатив реализуется.
