Относительность 18 — Тензор кривизны Римана
Понятие кривизны с одной стороны кажется чрезвычайно интуитивным. Мы наглядно отличаем кривую линию от прямой. Даже то что поверхность сферы является искривленным пространством достаточно очевидно.
Но если присмотреться, то оказывается что наш мозг может обнаружить кривизну лишь погружая рассматриваемый объект в плоское трехмерное пространство. Мы мыслим кривую, нарисованной на листе бумаги, который сам находится в плоском трехмерном пространстве. Сферу мы также представляем себе как поверхность шара, находящегося в плоском трехмерном пространстве. Мы не можем представить искривление самого трехмерного пространства и уж тем более искривление 4-мерного пространства-времени.
Однако существует способ обнаружить кривизну объекта не погружая его в плоское пространство большей размерности. Для этого необходимо обратить внимание на такую казалось бы простую операцию как параллельный перенос вектора.
Еще со школы нас учат, что векторы можно спокойно двигать по плоскости. Если, например, даны два вектора, то можно найти их сумму перенеся в одну точку и воспользовавшить правилом параллелограмма.
Однако операция параллельного переноса вектора не такая тривиальная если производится на искривленной поверхности. Пусть на сфере исходный вектор находится на экваторе и направлен к северному полюсу. Перенесем его на северный полюс. Далее вернем его на экватор по другому меридиану. И перенесем по экватору в исходную точку. Окажется, что он направлен не в ту же сторону что исходный.
Это свойство параллельного переноса векторов можно использовать для количественного измерения степени кривизны. Если направление вектора при параллельном переносе по замкнутому контуру меняется, то пространство искривлено. Чем больше угол между исходным и перенесенным вектором – тем больше кривизна пространства. Если вектор при переносе по контуру по часовой стрелке поворачивается также по часовой стрелке, то кривизна положительна. Если при переносе по часовой стрелке он поворачивается против, то кривизна отрицательна.
Такое определение удобно потому что нам не требуется погружать объект в плоское пространство большей размерности. И казалось бы одного числа, того самого угла между исходным и перенесенным вектором, достаточно чтобы охарактеризовать кривизну пространства. Но тут возникает несколько нюансов.
Во-первых объект может не быть таким симметричным как сфера для которой кривизна в любой точке одинакова. В общем случае кривизна может меняться от точки к точке. То есть нам надо рассмотреть перенос вектора по бесконечно малому контуру в окрестности рассматриваемой точки чтобы определить кривизну именно в этой точке.
Во-вторых если пространство имеет размерность больше двух, то и выбор плоскости по которой будет происходить этот перенос по контуру тоже не уникален. Например к точке сферы можно построить одну касательную плоскость. Назовем ее xy. К точке трехмерного пространства можно уже построить три перпендикулярные плоскости xy yz и zx. К точке четырехмерного пространства уже шесть.
Давайте все же попытаемся описать нашу интуицию математикой.
Нарисуем вблизи окрестности интересующей нас точки искривленного пространства пару бесконечно малых векторов dx мю и dx ню, которые и определяют плоскость. При параллельном переносе вектора по контуру, образованному этой парой векторов, направление исходного вектора V поменяется.
Логично предположить, что это изменение вектора (дельта V) будет зависеть от самого вектора V, векторов dx мю и dx ню, задающих плоскость где находится наш замкнутый контур, и кривизны пространства в данной точке. Обозначим ее буквой R. Чтобы запись стала корректным тензорным выражением R должен иметь один верхний индекс, соответствующий индексу в левой части равенства и три нижних индекса, соответствующих индексам трех векторов. Данный тензор четвертого ранга называется тензором кривизны Римана.
Чтобы найти выражение по которому можно будет вычислить компоненты данного тензора нужно строго математически определить операцию параллельного переноса вектора и произвести все вычисления с обходом бесконечномалого контура этим вектором. Это довольно громоздкие вычисления.
Но существует и более простой способ. Достаточно просто рассмотреть действие на вектор такого вот дифференциального оператора. Набла мю набла ню минус набла ню набла мю. Откуда он взялся? Мы просто заменили обычные производные dx мю и dx ню на ковариантные производные. Первое слагаемое это движение вектора вперед вдоль двух векторов, а второе – это движение обратно к исходной точке. Может показаться не очевидным, поэтому мы постулируем, что действие данного оператора эквивалентно умножению вектора на тензор кривизны. Опять же по индексам все сходится. Тензор кривизны имеет один верхний и три нижних индекса.
Если подставить вместо символа ковариантной производной ее явный вид через обычную производную и связность, то получим следующее выражение.
Это и есть выражение тензора кривизны через связность.
Тут есть один нюанс. Для его получения необходимо предположить, что связность симметрична по двум нижним индексам. Это так называемое условие нулевого аффинного кручения. Можно этого и не делать, но тогда мы получим вместо ОТО так называемую теорию Эйнштейна — Картана, а это как говорят уже совсем другая история.
Итак, оказалось что кривизна характеризуется довольно сложным математическим объектом – терзором четвертого ранга. В четырехмерном пространстве-времени каждый индекс пробегает четыре значения t x y z. Получается у тензора 4^4=256 компонент. Конечно благодаря некоторым симметриям не все они независимы. Независимыми оказываются только 96 из них, но согласитесь, что все равно это много.
Также мы видим, что тензор кривизны можно выразить через связность и ее производные. Заметьте, что хотя сама связность не является тензором ее комбинации в приведенном выражении образует тензор. Это еще один пример как из не-тензоров можно получить тензор. Можете проверить, что компоненты тензора кривизны правильным образом меняются при преобразованиях Лоренца.
Можно конечно выразить и саму связность через метрику, но выражение для тензора кривизны через метрику получится громадным.
Тензор кривизны как следует из названия позволяет количественно оценить кривизну пространства. Так если он везде тождественно равен нулю, то мы имеем плоское пространство.
Из вида самой метрики в сложных криволинейных координатах сложно сказать искривлено ли само пространство или она так ужасно выглядит просто из-за использования кривых координат. Но вычислив тензор кривизны мы теперь можем ответить на этот вопрос.
Обратное тоже верно. Если тензор кривизны везде нулевой, то мы всегда можем перейти к координатам в которых метрика будет матрицей с постоянными коэффициентами – метрикой Минковского в нашем случае.
Ну и конечно же не стоит слепо доверять всем имеющимся в интернете визуализациям и анимациям искривленного пространства-времени. Интуицию по отношению к таким вещам можно выработать только обращаясь к математике. Все визуализации всегда содержат искажения и на них нельзя опираться, делать выводы, заключения и приводить аргументы на их основе. Все они призваны спроецировать 4-мерное пространство-время на трехмерное плоское пространство с равномерно текущим временем, которое может вообразить наш мозг. Но проекция это всегда отбрасывание чего-то. Искривление пространства, которое часто изображают натянутой резинкой не то же самое, что искривление 4-мерного пространства-времени. И даже интересные красивые анимации с движущимися координатными линиями тоже слабо соответствуют действительности. По крайней мере не стоит строить на их основе далеко идущие выводы.
