Относительность 6 — Парадокс близнецов. Собственное время.
В предыдущем видео мы видели, что три пространственные координаты x,y,z вместе в временем t можно рассматривать как координаты вектора, живущего в четырехмерном пространстве Минковского. Ценность такого подхода в том, что с каждым таким вектором связана некоторая величина, не меняющаяся при смене СО – длина вектора. Мы обозначали ее s. В таком свете преобразования Лоренца можно рассматривать просто как смену системы координат. Мы поговорим подробнее об этом в следующем видео.
Если вернуться к размерной скорости света, то коэффициент с будет умножаться на время t. Поделим обе части равенства на с2. Тогда инвариант будет иметь размерность времени. Он называется собственным временем и обозначается обычно буквой τ. Собственное время отличается от длины 4-вектора только множителем и поэтому также одинаково для всех наблюдателей в любых СО.
Δτ — это тот самый интервал времени, который покажет секундомер наблюдателя, перемещающегося из точки с координатами (t1,x1,y1,z1) в точку с координатами (t2,x2,y2,z2). Здесь мы опять вернулись к единицам c=1.
Заметьте, что интервал времени τ≠t2-t1. Координаты точки пространства-времени разные в разных СО. Но все наблюдатели согласятся на счет показаний секундомера, который несет с собой наблюдатель, перемещающийся из одной точки в другую.
Из-за появления знаков минус в формуле вычисления длины (или собственного времени), диаграммы Минковского иногда могут противоречить интуиции.
Рассмотрим так называемый парадокс близнецов.
Сразу отметим, что на самом деле никакого парадокса нет. У вас не получится найти никаких парадоксов в теории относительности. Это внутренне самосогласованная теория. Она исследована уже вдоль и поперек и является основой современной физики наравне с квантовой механикой.
Итак, диаграмма Минковского парадокса близнецов выглядит следующим образом. Один брат-близнец всегда находится на Земле и не передвигается в пространстве. Его траектория в пространстве-времени это просто прямая линия, показанная синим. Второй брат-близнец совершает космическое путешествие. Он летит на ракете к Альфа-Центавре, любуется красотами, разворачивается и летит обратно. Его траектория показана красным.
Судя по длинам отрезков на диаграмме Минковского кажется, что он прошел больший путь. Пространственновременные интервалы кажутся длиннее. На самом деле если посчитать длины пространственновременных интервалов, то у близнеца, который летал в ракете интервал получится короче. Его часы будут показывать меньше времени, чем часы брата на Земле. Собственное время для его траектории окажется меньшим и он окажется моложе.
На диаграмме Минковского это не очевидно, потому что мы пытаемся нарисовать пространство Минковского на евклидовом пространстве – плоскости. Это невозможно сделать, да и представить себе пространство Минковского также невозможно, поэтому доверять приходится только математике.
Вспомним, что собственное время равно нулю для светоподобного интервала. Для времениподобного интервала оно больше нуля. Логично предположить, что численное значение собственного времени будет уменьшаться по мере увеличения скорости наблюдателя, угла наклона траектории на диаграмме Минковского.
И действительно τ2=t2-x2. Близнец на Земле неподвижен, его координата x всегда равна нулю и, соответственно собственное время τ всегда будет больше, чем у совершающего космический полет близнеца.
В общем, траектория в пространстве-времени брата-близнеца в ракете короче траектории брата на Земле. Вы можете посчитать насколько именно, используя преобразования Лоренца.
Да, и ситуации не симметричны поскольку близнец в ракете испытывал ускорения при разгоне и торможении ракеты. Его система отсчета неинерциальная.
На нашей диаграмме скорость изменяется скачкообразно, но можно и сгладить график, суть от этого не изменится.
