Световые часы: замедление времени, сокращение расстояния.

Октябрь 24, 2016

Принцип относительности приводит к неизменности скорости света вне зависимости от направления или скорости движения самой системы. Но скорость это отношение расстояния ко времени. Если не меняется скорость, значит меняются расстояния и время. Наглядно данный факт демонстрируют световые часы.

Луч света движется между двумя зеркалами. За единицу времени можно принять время прохождения луча между зеркалами. В неподвижной системе отсчета пройденное светом расстояние это просто \( \displaystyle L=c\Delta t_{0}\) — расстояние между зеркалами.

light_clock_ru

В движущейся системе координат луч идет по гипотенузе, а L можно найти через теорему Пифагора:

\( \displaystyle L=\sqrt{(c\Delta t)^{2}-(v\Delta t)^{2}}=c\Delta t\sqrt{1-v^2/c^2}=c\Delta t\gamma\)

где за \( \displaystyle \gamma\) обозначен релятивистский множитель с корнем. При низких скоростях он приближается к единице и релятивистские поправки (relativity-относительность) становятся ничтожно малы.

Таким образом наш интервал времени в движущейся системе координат равен:

\( \displaystyle \Delta t=\frac{L}{c} \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{L}{c} \frac{1}{\gamma}\)

Подставляя \( \displaystyle c\Delta t_{0}\) вместо L получим связь интервалов времени разных систем отсчета:

\( \displaystyle \Delta t=\Delta t_{0} \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\Delta t_{0} \frac{1}{\gamma}\)

Поскольку \( \displaystyle \gamma<1\), то интервал времени \( \Delta t\) в движущейся системе координат более длинный. За одну секунду в движущейся системе пройдет более одной секунды в неподвижной. То есть время в движущейся системе отсчета замедляется.

Cкорость света (отношение расстояния ко времени) одинакова во всех системах координат, а время, как мы выяснили, течет по-разному. Поэтому при замедлении времени на фактор \( \displaystyle \gamma\) расстояние должно сокращаться на тот же самый множитель, чтобы скорость света не изменилась.

Это можно продемонстрировать перевернув на 90 градусов световые часы, чтобы луч шел параллельно направлению движения.

michelsonmorleyanimationde

По пути к зеркалу луч проходит расстояние L плюс то расстояние, на которое успело сдвинуться зеркало.

\( \displaystyle c\Delta t_{1}=L+v\Delta t_{1}\);

\( \displaystyle \Delta t_{1}=\frac{L}{c-v}\);

По пути обратно луч проходит расстояние L минус то расстояние, на которое успело приблизиться первое зеркало.

\( \displaystyle c\Delta t_{2}=L-v\Delta t_{2}\);

\( \displaystyle \Delta t_{2}=\frac{L}{c+v}\);

Общее время равно их сумме:

\( \displaystyle \Delta t=\frac{L}{c+v}+\frac{L}{c-v}=\) \( \displaystyle \frac{2L}{c}\cdot\frac{1}{1-v^2/c^2}=\) \( \displaystyle \frac{2L}{c}\frac{1}{\gamma^{2}}\)

Сравнивая с предыдущим случаем для вертикально расположенных часов мы видим лишний множитель  \( \displaystyle \gamma\) в знаменателе. Горизонтальные и вертикальные часы идут по-разному. Устранить это можно только предположив, что само расстояние между зеркалами сократилось:  \( \displaystyle L\rightarrow \gamma L\). В общем случае все расстояния по направлению движения сокращаются:

\( \displaystyle \Delta x=\Delta x_{0} \sqrt{1-v^2/c^2}=\Delta x_{0} \gamma\)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.