Относительность 8 — Метрика, индексы, соглашение Эйнштейна

Квадрат длины обычного вектора находится как скалярное произведение с самим собой, то есть сумма квадратов координат. Мы можем переписать данное выражение в матричных обозначениях: вектор-строка умножается на вектор-столбец. Или транспонированный вектор помноженный на исходный.

Найдем аналогичные выражения для 4-вектора. Как мы помним, в формуле вычисления квадрата длины, квадраты пространственных компонент x y z идут со знаком минус. Данное выражение также можно записать в матричной форме, но чтобы получить знаки минус необходима еще диагональная квадратная матрица размером 4х4. Первый элемент диагонали равен +1, оставшиеся 3 равны -1. Тогда если между строгой и столбцом поставить такую матрицу, то при перемножении как раз получим выражение квадрата длины 4-вектора. Данная матрица называется метрикой Минковского и обозначается обычно греческой буквой эта.

Длина обычного вектора не меняется при повороте системы координат. В матричных обозначениях

v^T*v = v^T’*v’

где штрихом обозначается вектор-столбец координат в повернутой системе координат.

Мы видели в предыдущем видео, что его можно найти умножив матрицу поворота R на исходный вектор. Вектор-строка находится умножением транспонированной матрицы R справа. Помним, что при транспонировании произведения матриц порядок их следования меняется.

В итоге, для квадрата длины мы имеем следующее

v^T*v = v^T’R^T*R*v’

То есть R^T*R должно равняться 1. Данное требование по-сути и определяет вид матрицы поворота R. Матрицы, удовлетворяющие данному условию называются ортогональными.

Все описанное можно проделать и для 4-векторов. Помним, что аналогом поворота являются преобразования Лоренца. Для транспонированного вектора матрица также транспонируется и умножается справа.

Но для нахождения квадрата длины необходимо между векторами еще поставить метрику.  Квадрат длины инвариантен при преобразованиях Лоренца. Штрихованный вектор – это вектор-столбец с компонентами относительно Лоренцево-повернутой системы отсчета. Переходя к матрицам лямбда видим, что для них должно выполняться следующее условие.

По-сути оно и определяет вид матрицы преобразования Лоренца. Сравните с условием ортогональности для матрицы поворота. Мы можем его переписать в похожем виде вставив единичную матрицу между векторами. Тогда мы видим, что единичная матрица 3х3 является метрикой евклидового пространства.

Несмотря на то, что матрицы более привычны и изучаются со школы, в теории относительности общепринято альтернативное индексное обозначение.

4-Вектор обозначается переменной с верхним индексом в качестве которого используется греческая буква. Индекс пробегает диапазон от 0 до 3.

x0 это время t – нулевая компонента 4-вектора. x1, x2, x3 – это пространственные компоненты х, y, z.

Матрица обозначается переменной с двумя индексами – строка, столбец в терминах матриц.

Таким образом мы можем переписать, например, выражение для квадрата длины 4-вектора как

Суммирование происходит по двум индексам мю и ню. В итоге длина s не имеет никаких индексов – это скаляр.

Для упрощения записи используется так называемое соглашение Эйнштейна. Если индекс появляется 2 раза – один вверху и один внизу – то сумма по ним подразумевается неявно и знак суммы можно не писать.

Также в данной записи нам не надо заботиться о порядке записи величин. Мы, например, можем поставить метрику на первое место.

Давайте перепишем в индексном обозначении штрихованные и нештрихованные компоненты 4-вектора, связанные преобразованием Лоренца.

Слева происходит суммирование по индексу ню. Он таким образом уходит и слева остается только индекс мю штрих.

Перепишем выражение для преобразований Лоренца и метрики в индексных обозначениях

Суммирование происходит по индексам мю-штрих и ню-штрих. Несуммируемые индексы ро и сигма одинаковые в обоих сторонах равенства. Так можно проверять корректность выражений в индексной записи: несуммируемые индексы справа и слева равенства должны совпадать.

Хотя матрицы в общем случае не коммутируют и мы не можем их переставлять местами, в индексных обозначениях мы можем ставить величины в произвольном порядке. За переменными с индексами стоят обычные числа – компоненты векторов и матриц, а числа коммутируют. Это еще одно из преимуществ индексных обозначений.

Другим преимуществом является то, что мы можем записывать величины с количеством индексов, большим двух, которые уже нельзя представить матрицами. Такие объекты также появляются в теории относительности. Например, у тензора кривизны Римана – 4 индекса.