Относительность 7 — Преобразования Лоренца как гиперболический поворот

Преобразования Лоренца по отношению к 4-векторам можно рассматривать как смену системы координат. Как известно, смена системы координат не меняет сам вектор. Меняются только численные значения координат вектора, но сам вектор и его длина остается неизменной.

Рассмотрим сначала смену системы координат обычного вектора на плоскости. Пусть у нас имеется декартова система координат и вектор. Возьмем вторую систему координат, повернутую относительно первой на угол альфа. Как найти координаты вектора в этой повернутой системе координат (x’, y’)?

Вы можете проверить, что ответом будут такие выражения:

Перепишем данные выражения в матричной форме. Координаты в повернутой системе координат, x’ и y’ запишем в вектор-столбец. Координаты в исходной системе координат x y также будут вектор-столбцом. Чтобы их связать между собой, согласно правилам матричного умножения нужна матрица размером 2х2. Ее элементами будут следующие величины. Проверьте помножив строку на столбец, что это те же самые выражения.

Можно вообще переписать их в компактной матричной записи.

v’=R*v

Матрица R называется матрицей поворота.

Как и следовало ожидать, при повороте системы координат, длина вектора не изменяется.

Описанные рассуждения можно применить и к преобразованиям Лоренца. Вместо декартовой системы координат с осями (x y), у нас имеются оси, (t x).

Преобразования Лоренца можно также мыслить как поворот системы координат. Но это не совсем обычный поворот, потому что и пространство у нас не совсем обычное – пространство Минковского. И поворот осуществляется в плоскости (t x).

Как же будет выглядеть повернутая при преобразованиях Лоренца система координат. Преобразования Лоренца это переход к движущейся с постоянной скоростью системе отсчета.

Траекторией движущегося наблюдателя будет прямая x=vt. Для наблюдателя в движущейся системе отсчета он просто покоится, поэтому в его штрихованых координатах x’=0.

По сути мы получили ось лоренцево-повернутой системы координат t’. Также как для точек на оси t в исходной системе их координата x=0. Для оси t’ справедливо что для точек на ней координата x’=0.

Теперь нам надо нарисовать вторую ось лоренцево-повернутой системы отсчета — x’ для точек на которой t’ будет равно нулю. По аналогии с исходной осью x для точек на которой t всегда равно нулю.

Здесь надо быть очень осторожным, поскольку как мы видели во второй части, одновременность в теории относительности понятие относительное. А x’ это ось, точки на которой соответствуют одновременным событиям – событиям, произошедшим в нулевой момент времени.

Как и во второй части, рассмотрим ракету. Но на этот раз наблюдатель будет находиться в середине ракеты, а в нулевой для него момент времени происходят одновременные для него вспышки света в голове и в хвосте ракеты. Одновременные – значит они в его системе отсчета достигнут его одновременно.

Посмотрим на диаграмму Минковского. Нарисуем траектории середины и хвоста ракеты. В нулевой момент времени в хвосте ракеты происходит вспышка света. Она достигает середины в точке a. В этот же момент туда должен прийти луч от носа ракеты. Мы можем нарисовать его траекторию назад из точки а до пересечения с мировой линией носа ракеты. Помним, что свет на диаграмме Минковского всегда движется по траекториям, наклоненным под углами +-45градусов для любого наблюдателя. Эта точка b и будет одновременной к точке в начале координат. То есть для нее t’=0. Соединив две точки мы как раз и найдем искомую вторую ось x’ лоренцево-повернутой системы координат. Можете убедиться, проведя несложные геометрические вычисления, что она оказывается симметричной оси t’ относительно траектории света под углом 45 градусов.

При лоренцевом повороте угол зависит от скорости. Чем больше скорость, тем ближе повернутые оси расположены к траектории светового луча. Опять же, графически видно почему скорость света превысить не удастся.

Все приведенные геометрические построения можно переписать и чисто алгебраически, по аналогии с поворотом обычного вектора на плоскости.

Штрихованные и нештрихованные системы координат связаны преобразованиями Лоренца. На первый взгляд ничего общего с синусами и косинусами обычного поворота нет. Но на самом деле их можно переписать через гиперболические синусы и косинусы. Выражения тогда станут полностью аналогичными. Тригонометрические функции меняются на гиперболические и появляется еще один знак минус.

Их также можно переписать в матричном виде.  Или в компактной матричной записи.

v’=L*v

Матрица L соответствует преобразованиям Лоренца.

Можно убедиться, что длина 4-вектора не меняется при действии такой матрицы на вектор.

Таким образом, на таком довольно абстрактном уровне, преобразования Лоренца являются просто гиперболическим поворотом системы координат пространства Минковского в плоскости t-x.

Конечно можно аналогично повернуть в плоскости t-y и t-z. Такие действия называются еще Лоренцевым бустом.