Почему амплитуды вероятности возводятся в квадрат?

То, что для получения вероятности необходимо возвести абсолютное значение амплитуды вероятности в квадрат обычно вводится в виде постулата. Однако, если быть более точным, то постулировать достаточно лишь связь длины вектора в Гильбертовом пространстве с вероятностью. Необходимость возведения длины в квадрат следует из теории вероятностей и теоремы Пифагора. Покажем почему это так.

Согласно постулату об измерении, система оказывается в одном из базисных векторов оператора наблюдаемой величины после того как измерено соответствующее ему собственное значение. Все базисные векторы ортогональны друг другу. Именно поэтому, если измерено значение a1, то вероятность того, что мы получили a2 равна нулю. Для наглядности проведем аналогию векторов состояния с обычными векторами на плоскости.

Пусть у нас имеется какой-то исходный вектор состояния пси и ортогональные базисные векторы а1 и а2. Амплитуды вероятности есть скалярное произведение вектора состояния с базисными. Графически это просто проекция вектора состояния на базисные векторы. Длина этих спроецированных векторов согласно постулату связана с вероятностями при измерении получить значение a1 или a2. Не будем изначально постулировать, что эта связь описывается функцией x², а просто обозначим f(x)

Допустим теперь, что среди всех собственных значений a1, a2, a3, a4 и так далее, мы хотим знать вероятность, что измерено или a1 или а2. То есть нам без разницы какое из них.

Из теории вероятностей нам известно, что в этом случае искомая вероятность равна сумме вероятности для а1 и вероятности для а2. Заметьте, что в этом случае надо складывать именно вероятности, а не амплитуды как в предыдущем видео. Здесь у нас нет таких альтернативных возможностей, что результат измерения не говорит какая из них реализовалась в действительности.

Итак, поскольку мы условились, что вероятность связана с длиной вектора функцией f, мы имеем следующее.

Но с другой стороны, мы должны иметь возможность вычислить эту вероятность из длины самого вектора пси. Его длина находится из длин спроецированных векторов по теореме Пифагора.

Сравнив два выражения мы видим, что оба они могут удовлетворяться только когда функция f соответствует возведению в квадрат.

Цель этого всего еще раз показать, что квантовая механика является внутренне согласованной и представляет некое обобщение теории вероятностей. Но вероятности в ней уже рассматриваются как фундаментальные сущности, которые нельзя вывести из каких-то более детальных механизмов. Необходимость возведения абсолютного значения амплитуды вероятности в квадрат для получения вероятности нельзя получить из-каких-то более фундаментальных деталей и соображений, чем только что описанные. Правило Борна является постулатом и как мы видим оно логически связано с другими постулатами квантовой механики.

Сторонники многомировой интерпретации особенно рьяно пытаются вывести правило Борна. До сих пор эти попытки оставались неудачными и есть серьезные основания полагать, что они всегда останутся таковыми. Нельзя вывести вероятность, не вводя понятие вероятности изначально.

Вообще, существует несколько определений понятия вероятности. Наиболее известное называется частотная вероятность. Частота появления событий связывается с вероятностью. Если в среднем частота выпадения орла равна половине от общего количества бросков, то вероятность равна 50%. Математически вероятность записывается как предел отношения количества осуществления данного события к их общему количеству.

Вроде бы логично, но мы никогда на практике не сможем перейти к пределу бесконечного числа событий. К тому же математически, понятие среднего само определяется в терминах вероятности. Получается замкнутый круг.

Другим, менее известным подходом является определение вероятности как степени веры субъекта в наступление события. Эта вера меняется при поступлении новой информации. Такой процесс называется Байесовское обновление. Обычно данный подход поясняют на примере заболевания и теста на его наличие.

Пусть вы уверены на 100%, что у вас нет ВИЧ-инфекции. Но, по той или иной причине вы делаете тест на ВИЧ и он оказывается положительным. Вы гуглите и находите, что достоверность этого теста 95%. То есть у 95% людей у кого действительно ВИЧ, тест выдает положительный результат. И у 95% людей у кого нет ВИЧ, тест выдает отрицательный результат.  Какова же вероятность, что у вас на самом деле ВИЧ?

Может показаться, что ответ простой – 95%. Но это не так. Теорема Байеса позволяет посчитать эту вероятность. Но для ее применения не хватает еще информации о количестве ВИЧ-инфецированного населения вашего возраста и образа жизни. Допустим 1% от общего количества больны. Не будем расписывать расчеты, но при таких исходных данных оказывается, что вероятность того, что у вас ВИЧ равна всего лишь 16% вместо 95.

То есть с точки зрения Байесовского подхода ваша субъективная вера, что вы не больны, должна обновиться со 100 до 84%. Если вы проведете повторный тест другим методом, то при получении новой информации, ваши шансы опять изменятся либо вверх либо вниз в зависимости от результата теста. То есть субъективная вера или субъективные знания обновляются при поступлении новой информации. Математически для такого рода анализа используются условные вероятности. То есть вероятность события А при осуществлении события В.

Квантовомеханические амплитуды вероятности обобщают этот классический подход к теории вероятностей. Они являются аналогом условных вероятностей. Точнее позволяют вычислять условные вероятности квантовых событий через правило Борна. Вероятность, что вектор окажется базисным вектором а при условии, что сейчас он описывается вектором в находится возведением в квадрат соответствующей амплитуды вероятности.

Таким образом, амплитуды и сам вектор состояния отражают лишь субъективные знания. С Байесовской точки зрения нет ничего странного, что они обновляются при получении новых данных при наблюдениях. Коллапс вектора состояния есть лишь Байесовское обновление субъективных знаний при поступлении новых данных.

Квантовая механика субъективна. И субъективный взгляд на вероятности более адекватен в данном случае.