Теория групп 1 — Определение группы

Сложно переоценить значение теории групп для современных естественных наук. Приведем лишь один пример из физики. Оказывается каждому типу фундаментального взаимодействия соответствует своя группа. 

Электромагнитным взаимодействиям соответствует группа с названием U(1). Слабым взаимодействиям, ответственным за ядерные распады, группа SU(2). Сильным взаимодействиям, удерживающим кварки в протонах и нейтронах соответствует SU(3).

Удивительно, но свойства фундаментальных частиц и их взаимодействий оказывается можно вывести из свойств этих абстрактных математических групп.

Исторически теорию групп изобрел Эварист Галуа в 19 веке. Как написано в википедии: За свои короткие 20 лет жизни из которых лишь последние 4  года он увлекался математикой Галуа успел сделать открытия, ставящие его на один уровень с величайшими математиками в истории.

Да, сложно себе представить как бы выглядела современная математика, если бы Галуа не убили на дуэли в 20-летнем возрасте. Все то что сейчас называется абстрактная алгебра выросло из его идей.

Итак, Галуа пришел к теории групп из довольно приземленной проблемы – разрешимость в радикалах уравнений типа ax²+bx+c=0 только для произвольных степеней. То есть можно ли представить решение в виде формулы из коэффициентов этого уравнения. Типа школьной формулы с дискриминантом для квадратного уравнения.

В общем не будем вдаваться в математические детали. Важно то, что проблема оказалась связана с симметриями корней этого уравнения. Галуа нашел метод математического описания симметрий, известный сейчас как теория групп.

Определение группы проще понять на симметриях простейших геометрических объектов. Возьмем, например, прямоугольник. Если его повернуть на 180°, то получим точно такой же прямоугольник. То есть прямоугольник симметричен относительно операции поворота на 180°. Также если этот прямоугольник повернуть на 0°, то он также останется тем же.

Говоря языком теории групп мы имеем операцию – в нашем случае поворот – и два элемента группы – поворот на 0° и поворот на 180°. Назовем эти элементы R₀ и R₁₈₀.

Элементы группы можно комбинировать. Например, выражение R₁₈₀ * R₀ означает, что прямоугольник поворачивается на 0°, а потом на 180°.

Можно все возможные произведения записать в таблицу умножения, называемую также таблицу Кэли. Повернуть на 0°, а потом еще раз на 0° будет 0°. Повернуть на 0°, а потом на 180° равно повороту на 180°.  Повернуть на 180°, а потом на 0° будет 180°. И наконец если два раза повернуть на  180°, то получим поворот на 360° или что то же самое, что поворот на 0°.

На таком простом примере можно продемонстрировать абстрактное определение группы как математического объекта. Группой называется объект, удовлетворяющий следующими свойствами:

1. Определена операция группы. В нашем случае операцией является поворот.

2. Наличие единичного элемента. То есть элемента, который ничего не делает. Будем обозначать его буквой I. В нашем случае это поворот на 0°.

3. Замкнутость. То есть все возможные произведения элементов группы не должны давать в результате элемент, изначально не входящий в группу. Как мы видим из нашей таблички умножения это условие также выполняется. Любая комбинация поворотов на 0° и 180° приводит к фигуре, повернутой либо на 0° либо на 180° и никак иначе.

4. Наличие обратного элемента. Он по аналогии с матрицами обозначается степенью -1. Обратным элементом называется элемент, отменяющий операцию данного элемента. Или если алгебраически, то умножение элемента на обратный дает единичный элемент. Для каждого элемента группы должен существовать обратный элемент, который также должен входить в эту группу. То есть являться ее элементом.

Обратным к единичному элементу является он же сам. Обратным к повороту на  180° также является поворот на 180° поскольку в сумме получится 360° и прямоугольник вернется в исходное неповернутое состояние.

5. Ну и еще добавляют свойство ассоциативности.

Все. Если для объекта удовлетворяются эти свойства, то он является группой. Группы обычно имеют названия. Рассмотренная группа называется С2.

Еще один пример. Возьмем равносторонний треугольник. Операцией группы также будет поворот. Имеется три элемента группы: поворот на 0°, на 120° и на 240°.

Составим таблицу умножения для группы. Два поворота на 120° дают поворот на 240°. А два поворота на 240° эквивалентны повороту на 120°. То есть условие замкнутости соблюдается. Все возможные перемножения дают те же самые три элемента группы.

Можно также убедиться, что для каждого элемента существует обратный и он также находится в группе. Для элемента R120 обратным будет R240 поскольку сумма даст  360° что то же самое, что 0°. Для элемента    R240 обратным будет R120. Данная группа называется С3.