Теория групп 13 — Спиноры и преобразования Лоренца. Гомоморфизм групп SO(1,3) и SL(2,C).

В предыдущих видео мы видели, что группе трехмерных поворотов SO(3), элементы которой действуют на векторы, можно поставить в соответствие группу SU(2), элементы которой действуют на спиноры. Каждому вектору соответствует спинор. Но поворот вектора на угол α приводит к повороту соответствующего спинора на вдвое меньший угол. Группа SO(3) гомоморфна группе SU(2).

В восьмой части мы также видели, что можно перейти к четырехмерному пространству Минковского специальной теории относительности добавив к вектору четвертую координату – время. Мы говорили, что группа, описывающая повороты во всех шести плоскостях такого пространства называется группой Лоренца и обозначается SO(1,3). Наша сегодняшняя цель выяснить существует ли спинорное представление этой группы по аналогии со спинорным представлением группы трехмерных поворотов SO(3). Можно ли построить спинор, соответствующий 4-вектору?

Чтобы не завязнуть в формулах приведем сразу результат. В предыдущей части мы видели, что координаты вектора можно найти из спинора в соответствии со следующими выражениями. Чтобы перейти к 4-векторам необходимо добавить еще одну такую строчку для координаты t.

Дополнительная матрица σ_t, которую в литературе обычно обозначают σ₀, оказывается просто единичной матрицей. Все остальные сигма как вы помните – это матрицы Паули.

То есть 4-вектор можно разложить в базисе этих четырех матриц и получить его матричное представление. Детерминант такой матрицы как раз будет равен пространственно-временному интервалу. Заметьте сходство с кватернионами. Если заменить единичную матрицу единицей, а матрицы Паули мнимыми единицами i j k, то получим обычный кватернион.

Мы ранее приводили генераторы группы Лоренца. Их 6 штук. Три соответствуют поворотам в плоскостях xy yz и xz. Это обычные повороты вокруг осей x y z. Три других генератора соответствуют поворотам в плоскостях tx ty tz. Это как раз Лоренцевы бусты вдоль осей x y z.

В 8 части мы пришли к преобразованиям Лоренца немного поменяв генераторы обычных поворотов. Давайте также вернемся к обычным поворотам, но уже в спинорном представлении.

Зададим 100 рандомных спиноров, то есть 100 случайных пар комплексных чисел. Сохраним их в матрице s размером 2х100. Вычислим элемент группы SU(2) поворота вокруг оси y матричным экспоненцированием соответствующей матрицы Паули. Будем в цикле умножать эту матрицу поворота на спиноры.

Далее из спиноров вычисляются координаты векторов и строятся точки на графике. Поворот у нас вокруг оси y, то есть в плоскости zx, поэтому строим z x координаты вектора. Запустим программу. Как и ожидалось получим вращение. Заметьте, что в программе мы вращаем двухкомпонентный спинор, а переходим к векторам только для построения точек на плоскости.

Для перехода к преобразованиям Лоренца достаточно всего лишь немного изменить генератор. Уберем множитель –i и будем отображать на графике плоскость ty. Видим те самые гиперболы, которые мы уже наблюдали обсуждая группу Лоренца.

В общем что мы имеем. Если получать элемент группы экспоненцированием  -i, умноженную на матрицы Паули, получим повороты. Если же экспоненцировать просто матрицы Паули, получим Лоренцевы бусты.

Заметьте, что хотя вектор уже четырехмерный и живет в пространстве Минковского, то соответствующий спинор как был, так и остался двухкомпонентным комплексным вектором.   

Здесь опять прослеживается связь с кватернионами, которые также четырехкомпонентные. Но для обычных трехмерных поворотов мы искусственно оставляли только чистый кватернион с компонентами i j k, игнорируя четвертую координату.

В общем оказывается спинор изначально живет в пространстве Минковского, просто до этого мы не знали как его повернуть в трех других плоскостях.

Обратите внимание, при экспоненцировании матриц Паули (без множителя     -i) то есть для преобразований Лоренцева буста, матрица не получается унитарной. Соответственно она не принадлежит группе SU(2).

Также как группа поворотов SO(3) является подгруппой более большей группы Лоренца, в нашей получившейся группе, группа SU(2) также является подгруппой более большей группы. Данная группа называется SL(2,C). Специальная, то есть матрицы с единичным детерминантом. Линейная – матрицы выполняют линейные операции. 2 значит размер матриц 2х2. С значит поле комплексных чисел – элементы матриц комплексные числа.

Группа преобразований Лоренца 4-вектора SO(1,3) также оказывается гомоморфной группе SL(2,C). То есть при гиперболическом повороте 4-вектора при преобразовании Лоренца, соответствующий спинор повернется на вдвое меньший угол.

Матрицы преобразований Лоренцева буста группы SL(2,C)  оказываются не унитарными, а эрмитовыми. А любой произвольный элемент этой группы можно представить как произведение унитарной и эрмитовой матриц, то есть комбинации буста и поворота. Но ведь если матрицы группы SL(2,C) не обязаны быть унитарными, то норма вектора не обязана сохраняться. И действительно, в случае преобразований Лоренца величина s’*s изменяется. Но поскольку мы имеем группу, то что-то все-таки должно оставаться неизменным. Вспомним, что в случае преобразований Лоренца 4-вектора чтобы получить инвариант мы изменили само правило скалярного произведения векторов. Мы вводили метрику Минковского и определяли квадрат длины вектора как транспонированный вектор (вектор-строка), умноженный на матрицу 4х4 метрики Минковского, умножаемую на исходный вектор-столбец.

В случае спиноров инвариант можно найти аналогичным образом. Транспонированный спинор умножается на матрицу 2х2 и умножается на исходный спинор. Эта матрица называется спинорной метрикой Минковского и имеет следующий вид.

Можно убедиться, что квадрат нормы спинора всегда равен нулю. Это отражает тот факт, что соответствующий пространственно-временной интервал равен нулю. Соответствующие 4-векторы описывают светоподобный интервал и лежат на световом конусе.

Если подставить в формулу два разных спинора, то мы уже не получим 0, а получим комплексное число, инвариант, который также не будет меняться при преобразованиях Лоренца. Он является аналогом скалярного произведения двух 4-векторов.