Теория групп 16 — Алгебры Ли и Лестничные операторы

Давайте вернемся к группе SU(2). Чем она так интересна? В 11 части мы видели, что она является двойным покрытием группы трехмерных поворотов SO(3). Мы также узнали, что ее элементы действует на объект, получивший название спинор.

Генераторы группы SU(2) представляются матрицами Паули. А в КМ они являются операторами спина.

К тому же в 13 части мы выяснили, что естественным пространством для спинора является не обычное трехмерное пространство, а пространство Минковского СТО. И спиноры можно повернуть не только вокруг осей x y z, но и вокруг оси t – времени. И естественной для них является группа SL(2,C), являющаяся двойным покрытием группы Лоренца SO(1,3).

Удивительно как все взаимосвязано друг с другом и изучая обычные трехмерные повороты можно прийти к пространству Минковского СТО.

Гамильтон почти сделал это когда обнаружил, что для описания трехмерных поворотов нужны кватернионы у которых должно быть 4 компоненты. Сейчас мы конечно можем предположить, что четвертая компонента должна иметь какое-то отношение ко времени. Гамильтон жил в другом веке и понятия не имел, что открыл что-то касающееся несуществующих еще тогда КМ и СТО.

Итак, группа SU(2). Сама группа является абстрактным математическим объектом. Но согласно теории представлений, элементам группы можно сопоставить вполне конкретные матрицы. Эти матрицы можно рассматривать действующими на векторы, живущие в некотором векторном пространстве. В случае группы SU(2) это не обычные векторы. Это двумерные векторы, компоненты которых могут быть комплексными числами. И они называются не векторами, а спинорами потому что ведут себя иначе чем векторы при поворотах – действиях элементов группы SU(2). Так при повороте на 360 градусов спинор не переходит в себя, а дает минус исходный спинор. Мы об этом также говорили в предыдущих выпусках.

Элементы группы Ли всегда можно получить экспоненцированием генераторов группы. Генераторами группы SU(2) являются матрицы Паули. Генераторы группы Ли формируют так называемую алгебру Ли. Алгебра Ли определенной группы Ли обозначается маленькими буквами. Так для группы SU(2) ее алгебра обозначается su(2).

Как говорит вики: алгебра Ли – это векторное пространство с определенной на нем антикоммутативной билинейной операцией – скобкой Ли (или в случае матриц — коммутатором).

То есть в алгебре Ли вместо обычной операции умножения матриц используется коммутатор. В общем случае перемножив матрицы двух генераторов мы не получим матрицу другого генератора группы. Но коммутатор двух генераторов группы Ли дает другой генератор той же группы, может быть умноженный на определенный коэффициент.

Можно проверить, что это справедливо для матриц Паули. Коммутатор двух матриц Паули дает третью матрицу Паули.

Удивительно то, что матрицы Паули являются лишь одним из множества представлений алгебры su(2).

Например вот такие 3 матрицы также удовлетворяют всем коммутационным соотношениям алгебры su(2), таким же как и матрицы Паули.

Мы можем найти матрицы 4х4, которые также удовлетворяют коммутационным соотношениям и соответственно тоже являются представлением алгебры su(2).

Мы можем найти разные представления элементов самой группы SU(2) экспоненцируя разные матричные представления элементов алгебры, то есть генераторов.

Наша задача на будущее найти все возможные представления группы SU(2).

Начнем с того, что заметим, что обычно одна из матриц генераторов группы представляется диагональной матрицей. По соглашению матрица последнего генератора диагонализируется. Матрица Паули сигма z диагональна и матрица Jz нашего трехмерного представления также диагональна.

Для алгебры su(2) возможно диагонализировать только одну из 3-х матриц генераторов. Такое представление с максимальным числом диагональных матриц является стандартным представлением генераторов группы.

Собственные векторы диагональной матрицы генератора группы принято брать за базисные векторы векторного пространства. Так в случае матриц Паули за базисные векторы такого двумерного Гильбертово пространства берутся собственные векторы сигма z (1 0) и (0 1). В цикле по КМ мы их обозначали как кет-векторы Дирака |вверх> и |вниз>.

В случае трехмерного представления алгебры su(2) явный вид базисных векторов будет (1 0 0) (0 1 0) и (0 0 1) с соответствующими собственными значениями 1, 0 -1.

Теперь давайте рассмотрим такую важную операцию, называемую комплексификацией

Определим матрицу J+ как

J+ = J1+i*j2

и матрицу J- как

J- = J1-i*J2

где  J1 и J2 это трехмерные аналоги матриц Паули – одно из представлений генераторов группы SU(2).

Можно найти коммутационные соотношения для данных матриц и они будут такими:

Но больше для нас интересно действие данных матриц на собственные векторы диагонализированной матрицы J3.

Найдем для начала собственные векторы и собственные значения данной матрицы в матлабе. Три собственных значения 1 0 -1 соответствуют трем собственным векторам (1 0 0) (0 1 0) и (0 01)

Возьмем скажем второй собственный вектор (0 1 0) с собственным значением ноль.

Подействуем на него оператором j+. Получится вот такой вектор. Если его отнормировать, то мы увидим первый собственный вектор с собственным значением 1.

Если же на вектор подействовать оператором j-, то после нормирования получим другой собственный вектор, соответствующий собственному значению -1.

Матрицы или операторы J+ и J- получили название лестничных операторов или повышающих и понижающих операторов.

Как видим, действуя ими на один из собственных векторов генератора мы получаем другой собственный вектор. Идя дискретными шагами вниз и вверх по такой лестнице мы можем перебрать все собственные векторы оператора j3.

Что же будет если например подействовать оператором j+ на самый верхний собственный вектор с собственным значением +1. Мы не можем получить вышестоящий собственный вектор потому что его просто нет.

Давайте попробуем перемножить матрицы в матлабе. У нас получился нулевой вектор.

То же самое получится если подействовать оператором j- на самый нижний собственный вектор лестницы. У нас также получился нулевой вектор.

Такие лестничные операторы получили широкое распространение в математическом формализме КМ и КТП и впервые получены как ни странно Полом Дираком правда в несколько другом контексте.