Теория групп 17 — Классификация представлений SU(2)
Группа SU(2) поворотов в трехмерном пространстве допускает представления в виде матриц разных размерностей. Мы много времени уделили представлению в виде матриц 2х2 с комплексными элементами. Генераторами в этом случае являются матрицы Паули. В КМ эти матрицы, умноженные на коэффициент ½ являются операторами спина Jx Jy и Jz.
Генераторы группы Ли формируют алгебру Ли. Операцией такой алгебры является коммутатор и поэтому перечисление всех коммутационных соотношений генераторов полностью описывает алгебру.
Для группы SU(2) алгебра Ли определяется следующими коммутаторами:
Итак, эти коммутационные соотношения определяют алгебру, но можно найти матрицы разных размерностей, которые им удовлетворяют. Матрицы Паули размерностью 2х2 это просто самое низкоразмерное представление. Ну если не считать тривиальное где все J просто нули.
В предыдущей части используя процедуру комплексификации мы определили лестничные операторы J+ и J-. Если подействовать лестничным оператором на собственный вектор матрицы Jz, то получим другой ее собственный вектор, соответствующий следующему в случае J+ или предыдущему в случае J- собственному значению. Соответственно, используя лестничные операторы можно найти все собственные векторы матрицы Jz. Например последовательно действуя оператором J- на самый верхний собственный вектор.
К тому же оказывается, что все собственные значения разделены единичным интервалом. Предыдущее от последующего отличается на единицу. Обозначим за j максимальное собственное значение оператора Jz в данном представлении. В силу симметрии пространства, и как следствие матриц генераторов, минимальное собственное значение будет –j.
Их разница j-(-j) должна быть целым числом, поскольку мы опускаемся по лестнице с помощью понижающего лестничного оператора J- дискретными шагами с единичным интервалом.
Следовательно 2j это целое число, а j должно представляться как целое деленное на 2.То есть максимальное собственное значение j для различных представлений может принимать значения 0, ½, 1, 3/2, 2, 5/2 и т.д. Эти числа можно использовать в качестве метки соответствующего представления. И в КМ они обозначают спин частицы. Ноль соответствует скалярному представлению. Это одномерное представление, то есть матрицы 1х1 – просто число, ноль.½ соответствует двумерному представлению и операторы J обычно записываются через матрицы Паули. Единице соответствует представление в виде матриц 3х3.Представление 3/2 описывается матрицами 4/4 И т.д.
Как же найти явный вид матриц для конкретного представления? Мы знаем что одна из матриц должна быть диагональной. А у диагональной матрицы ее собственные значения идут по диагонали. Т.о мы можем сразу найти явный вид матрицы Jz в любом представлении. Надо просто расставить по диагонали собственные значения от максимального j к минимальному –j с единичным интервалом.
Остальные две матрицы Jx и Jy можно найти обратив выражения для лестничных операторов (с. 77) и рассмотрев их действие на собственные векторы Jz. Существуют и явные формулы для элементов этих матриц.
Таким образом мы получили все неприводимые представления алгебры su(2) и явный вид матриц генераторов. Как всегда, представления элементов группы получаются матричным экспоненцированием генераторов группы.
Физической интерпретацией этих представления является спин. Представление ноль описывает скалярные частицы. Мы знаем пример такой — Бозон Хиггса.
Представление ½ описывает частицы со спином ½ их множество — электроны, кварки.
Представление 1 описывает частицы со спином 1 – W и Z бозоны, например.
Представление 3/2 должно описывать частицы со спином 3/2, но такие экспериментально не обнаружены. Никто не знает существуют ли такие элементарные частицы в Природе или нет.
Представление 2 описывает частицы со спином 2. Пока мы знаем только одну такую элементарную частицу – гравитон.
Элементарные частицы со спином 5/2 и выше пока экспериментально не обнаружены. Никто не знает, существуют ли они в Природе или нет. Но как мы видим математически этому ничего не препятствует.
