Теория групп 3 — Подгруппы. Абелевы и неабелевы группы. Спонтанное нарушение симметрии.

Приведем еще раз таблицу умножения группы С3 – группы поворотов на 120 и 240°, оставляющей инвариантным равносторонний треугольник. Однако можно придумать и другие операции не изменяющие такой треугольник. Отражение относительно каждой из трех осей σ1, σ2 и σ3 также не меняет треугольник.

Запишем таблицу умножения для всех шести преобразований. Мы видим, что при умножении получаем все те же шесть элементов. Другие требования также удовлетворяются и мы имеем группу. Она называется D3. Группа поворотов С3 является подгруппой более общей группы поворотов и отражений D3.

Группа D3 имеет и другие подгруппы. Например, единичный элемент и одно из отражений σ также формируют группу. Она изоморфна ранее рассмотренной нами группе С2.

Заметьте, что поворот треугольника на 120° и его отражение относительно σ1 эквивалентно отражению относительно оси σ2. Но если сначала отразить по σ1, а потом повернуть на 120°, то получим отражение по оси σ3.

То есть некоторые элементы группы D3 не коммутируют. R120* σ1≠ σ1*R120. Но закон коммутативности и не входит в набор критериев группы, он не обязан соблюдаться. Если он не соблюдается, то группа называется неабелевой. D3 является примером неабелевой группы. Но ее подгруппа С3 абелева поскольку без разницы в какой последовательности поворачивать треугольник.

  В физике часто случаются ситуации, когда более высокая степень симметрии при определенных условиях нарушается и происходит понижение симметрии. На языке теории групп это означает что происходит переход от исходной большой группы к ее подгруппам.

Например, мы можем нарушить симметрию D3 нашего треугольника вот так вот раскрасив его. Заметьте, что он по-прежнему симметричен относительно поворотов на 120 и 240°, но он более не переходит в себя если отразить его относительно осей σ1, σ2 и σ3. Произошло нарушение и понижение симметрии.

Приведем еще пример из физики. Если ферромагнетик нагреть до температуры, превышающей так называемую температуру Кюри, то он теряет магнитные свойства.

Он становится парамагнетиком. Так происходит потому что тепловое движение атомов препятствует выравниванию спинов в одном направлении.

Хотя энергетически им выгодно располагаться параллельно друг другу, они не могут это сделать так как тепловые соударения атомов приводят к постоянному изменению направления спинов. Суммарный магнитный момент фактически равен нулю и материал не проявляет магнитные свойства.

Но заметьте, что такое состояние со статистической точки зрения обладает высоким уровнем симметрии. Если повернуть материал на произвольный угол, то получим ту же самую картину – случайные ориентации спинов. Система симметрична относительно поворотов.

Однако если охладить ферромагнетик ниже температуры Кюри, тепловой энергии становится недостаточно чтобы разрушить стремление спинов к выравниванию. Все они выстраиваются параллельно друг другу. Само направление выбирается случайно, но как только спины выстроились, симметрия системы резко понизилась. Теперь если повернуть материал на произвольный угол мы не получим ту же самую систему. Теперь имеется выделенное направление, определяемое расположением северного и южного полюсов магнита.

Описанная ситуация является примером так называемого спонтанного нарушения симметрии.