Теория групп 4 — Теория представлений групп
Мы видели, что группа является довольно абстрактным математическим объектом. Операцией группы может быть что угодно: обычное умножение или сложение, поворот, инверсия… да что угодно. Элементами группы также могут быть абстрактные объекты вроде поворота на 240°.
Но мы также видели, что иногда можно найти изоморфную группу в которой абстрактные операции исходной группы заменяются на более привычные нам числа. Однако не всегда возможно заменить элементы группы числами хотя бы потому, что элементы неабелевых групп не коммутируют, а для чисел коммутативный закон умножения строго соблюдается ab=ba.
Но мы знаем вполне конкретный математический объект для которого коммутативный закон умножения также не соблюдается – матрицы. Возникает вопрос, можно ли матрицами представить абстрактные элементы групп вроде инверсий и поворотов.
Оказывается можно. И таким представлением занимается теория представлений. Конечно математики могут умудриться найти группу, которая не представляется матрицами. Но такие не используются в физике. Все, что встречается относится к так называемым матричным группам.
Итак, возьмем нашу группу D3 поворотов и отражений равностороннего треугольника. Каждому из элементов группы можно поставить в соответствие квадратную матрицу. Операцией группы теперь является простое матричное умножение.
Можно убедиться, что структура группы сохраняется. Например, перемножив две матрицы поворота на 120° получим матрицу поворота на 240. Умножение матрицы R120 на матрицу σ1 дает матрицу σ2. Но если поменять порядок, то получим матрицу σ3. Матрицы поворота не коммутируют с матрицами отражения по осям. Но матрицы поворотов коммутируют между собой потому что подгруппа поворотов С3 абелева. Произведение R120*R240 дает единичную матрицу, которая соответствует единичному элементу группы.
Все приведенные матрицы обратимы. Обратной матрицей для R120 является матрица R240. А обратными матрицами для отражений σ являются они же сами. То есть обратный элемент матричной группы всегда представляется обратной матрицей.
Все оказывается просто, теперь мы можем заменить анализ абстрактных операций группы на изучение свойств конкретных матриц и использовать стандартную матричную арифметику.
Но с матрицами связан один интересный аспект. Матрицы можно рассматривать как операторы, действующие на векторы. Поясним на примере нашей группы D3.
Возьмем вектор с координатами [0, 1]. Запишем его декартовы координаты x и y в виде столбца. Умножим матрицу R120 на этот вектор. Получим другой вектор c координатами [- , -1/2]. Этот вектор повернут на 120° относительно исходного.
Если же умножить на исходный вектор матрицу R240 получим вектор с координатами [ , -1/2]. Этот вектор повернут на 240° относительно исходного.
Умножения всех остальных матриц на любой из этих трех векторов будут переводить вектор в один из этих трех.
По-сути это и есть наш равносторонний треугольник если соединить вершины.
Но сами матрицы являются представлением операций. Их не волнует будет ли объект неизменен после данной операции или нет. Так матрица R120 выполняет поворот вектора на 120° относительно начала координат. Если, например, немного сместить наш треугольник относительно начала координат, то умножение матрицы на векторы вершин треугольника даст треугольник повернутый на 120° относительно начала координат. Но он уже не перейдет сам в себя.
