Уравнение Шредингера. Гамильтониан.

Напомним, что в представлении Шредингера оператор эволюции во времени переводит исходный вектор состояния в вектор в момент времени t.

Основным свойством операторов эволюции, является унитарность, вытекающая из требования сохранения нормы, как мы говорили в 31 части.

Еще одно свойство следует из требования непрерывности. В отличие от резкого коллапса вектора состояния, в процессе временной эволюции вектор меняется плавно. То есть чем меньший интервал времени мы берем, тем меньше матрица оператора эволюции будет отличаться от единичной матрицы, которая ничего не делает с вектором.

То есть для малого интервала времени Δt оператор эволюции можно представить как единичная матрица плюс матрица, пропорциональная этому Δt. Тогда при Δt->0 мы как раз получим единичную матрицу. Исторически, из матрицы H еще принято выносить множитель –i. Это просто соглашение, не несущее физического смысла.

Запишем аналогичное выражение для эрмитово-сопряженного оператора. Не забываем при эрмитовом сопряжении менять знак у мнимой единицы.

Но условие унитарности говорит, что их произведение должно равняться единичной матрице. Раскроем скобки. Отбрасывая слагаемое с Δt² ввиду его малости, видим, что равенство удовлетворяется если эрмитово-сопряженный оператор Н равен исходному. То есть оператор Н эрмитов, а значит соответствует в квантовой механике какой-то наблюдаемой величине.

Подумаем, что же это за величина. Все величины в равенстве, за исключением времени безразмерны. Соответственно, величина Н должна иметь размерность [1/время], то есть частота.

Но мы работаем в единицах, когда постоянная Планка также безразмерна и равна единице. А она по определению связывает энергию и частоту. То есть в таких единицах измерения размерности частоты и энергии одинаковы и равны [1/время].

Оператор Н называется оператором Гамильтона или Гамильтонианом и является оператором энергии.

Гамильтониан тесно связан с временной эволюцией. В конечном счете мы ведь и получили его из оператора эволюции. Рассмотрим интервал времени от 0 до t и от t до t+Δt. Каждому интервалу соответствует свой оператор эволюции во времени. Матрица оператора эволюции, соответствующая всему интервалу от 0 до t+Δt, равна произведению матриц этих двух операторов.

Операторы эволюции действуют на кет-вектор, который домножается справа, поэтому порядок следования операторов обратный.

Подставим определение оператора эволюции через Гамильтониан. Раскроем скобки. Сгруппируем немного по-другому слагаемые. Левая часть равенства теперь что-то смутно напоминает. Если перейти к пределу Δt->0, то мы видим школьное определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента.

Мы получили дифференциальное уравнение, известное как уравнение Шредингера.

Оно удовлетворяется не только для оператора эволюции, но и для самих векторов состояния. Домножим обе части равенства на вектор состояния в начальный момент времени. Поскольку он не зависит от времени, его можно внести под знак производной. Теперь, в соответствии с определением оператора эволюции, мы можем заменить это произведение вектором, зависящим от времени. Мы получили уравнение Шредингера для вектора состояния.

Часто уравнение Шредингера вводится с первых же страниц учебников по квантовой механике в виде постулата. Все остальные страницы посвящены методам его решения. Однако мы видим, что оно следует из более глубоких постулатов квантовой механики: унитарной эволюции и непрерывности.

К тому же оно справедливо только для представления Шредингера, поскольку описывает изменение вектора состояния во времени. В представлении Гейзенберга вектор состояния не меняется, а изменяются операторы. Изменение операторов во времени описывается уравнением Гейзенберга, которое мы получим в следующей части.

В общем не следует считать уравнение Шредингера центральным для квантовой механики. Безусловно оно полезно, но не следует отождествлять квантовую механику и уравнение Шредингера.

Давайте теперь найдем решение этого уравнения. Как мы видим, само уравнение не такое уж и сложное. Если бы вместо оператора эволюции была простая функция, а вместо Гамильтониана число, то решением была бы простая экспонента. Действительно, производная от e^ax равна a*e^ax, то есть та же самая функция, умноженная на константу.

Формально решение можно записать в следующем виде.

Заметьте, что в показателе экспоненты стоит оператор. Получается число е возводится в степень матрицы. Оказывается, математики и все математические пакеты умеют это делать. Не будем вдаваться в то как именно, но результатом также будет матрица. То есть мы получили не просто формальную запись решения, а действительно полезное решение. Оно позволяет получить матрицу оператора эволюции из матрицы оператора Гамильтона. Говоря математическим языком, Гамильтониан является генератором временной эволюции.

Данное выражение для оператора эволюции работает для любого промежутка времени, а не только малого Δt. Заметьте также, что принцип непрерывности соблюдается. При t=0 оператор эволюции примет вид единичной матрицы.

Оператор Гамильтона в данном выражении не зависит от времени. Переменная t выступает просто как множитель. Время и в уравнении Шредингера и в его решении для оператора эволюции входит лишь как параметр. То есть оно не является наблюдаемой в квантовомеханическом смысле. Ему не соответствует никакой оператор, в отличие, например, от координат x, y, z, которые являются операторами.

Может показаться, что если учесть теорию относительности, то времени всё-таки надо поставить в соответствие оператор. Ведь пространство неотделимо от времени и образует единое пространство-время. Однако в релятивистской квантовой теории поля получается наоборот —  координаты x, y, z становятся простыми параметрами. Это один из многих намеков заставляющих ученых полагать, что пространство и время не являются фундаментальными сущностями.