Бог все-таки играет в кости

Январь 12, 2018

Одиннадцатая часть элементарного введения в квантовую механику.

Продолжим количественный разбор экспериментов Штерна-Герлаха. Расположим прибор ориентированным по оси x. Спину по оси x также соответствует эрмитов оператор Sx. Его можно представить следующей матрицей. Найдем его собственные значения и собственные векторы в маткаде.

Заметьте, что множитель ½ перед матрицей влияет на собственные значения, но не на собственные векторы. Маткад автоматически нормирует векторы, то есть приводит их к единичной длине, точнее единичной норме. Из-за этого мы имеем число 0.707 в компонентах собственных векторов. Это укороченное значение единицы деленной на корень из двух. Собственные значения оператора Sx такие же как и у оператора спина по оси z: +1/2 и -1/2. Соответственно при отклонении по оси x, электрон тоже может попасть только в одну из двух точек на экране.

Обозначим кет-вектором влево собственный вектор оператора спина Sx, соответствующий собственному значению +1/2. Кет-вектор вправо, соответствующий собственному значению -1/2, будет обозначать направление вниз по оси x. Также можно убедиться, что вероятность того что электрон отклонится влево если ранее он отклонился вправо равна нулю. Вероятность отклонения вправо если до этого он тоже отклонился вправо равна 100%, аналогично случаю со спином по оси z.

Интересно посмотреть что произойдет если разместить первый прибор по направлению оси z, а второй прибор ориентированным по оси x, то есть повернутый на 90 градусов относительно первого. Какова же вероятность того, что электрон отклонится влево во втором приборе, если он отклонился вверх в первом приборе? Она равна квадрату абсолютного значения следующей амплитуды вероятности. Подставив конкретные численные значения мы получим вероятность 50%. Спин электрона в этом случае ведет себя аналогично случаю с подбрасыванием монетки. Одна из двух возможностей выпадает случайно.

Разница в том, что в случае монетки мы гипотетически все же можем предсказать какой стороной она упадет если учтем все факторы. Мы интуитивно понимаем, что случайность тут возникает из-за чувствительности системы к начальным условиям и всевозможным внешним факторам. Поскольку наш мозг привык мыслить классически, он пытается применить эту интуицию и к квантовым системам. Кажется что квантовая механика не является окончательной теорией, раз она не позволяет предсказать результат единичного эксперимента даже в принципе. Вероятности не кажутся нам фундаментальными сущностями, а вроде бы наоборот указывают на существование более детального описания в рамках которого можно будет предсказать куда отклонится конкретно взятый электрон.

Эйнштейн придерживался данной точки зрения вплоть до конца жизни. Широко известна его цитата: Бог не играет в кости. Ирония такова, что это интуитивное утверждение просто неверно. Существуют строгие теоремы, показывающие что построение более детальной теории невозможно. И эти теоремы не являются одной лишь голой математикой. Они дают вполне конкретные предсказания, которые можно проверить экспериментально. И это было сделано множество раз.

Можно аппелировать к различным философским аргументам, но в конечном счете эксперимент является критерием истины. Предсказать куда отклонится конкретно взятый электрон невозможно в принципе. Вероятности заложены в Природе на фундаментальном уровне. Вектор состояния несет в себе всю возможную информацию, которую только можно знать о системе. Но он позволяет лишь вычислять вероятности тех или иных событий.

Составляемые нами амплитуды очень схожи с тем, что в теории вероятности называется условная вероятность. То есть  вероятность события А при условии осуществления события B. Однако в квантовой механике амплитуды вероятности, хотя и ненаблюдаемы, но являются более фундаментальными объектами, чем сами вероятности. Вероятность находится возведением в квадрат соответствующей амплитуды вероятности. Если можно так образно выразиться – квантовая теория есть квадратный корень из теории вероятностей.

Приведем матричное представление оператора спина по оси y. Найдем его собственные векторы и значения. Как это ни странно, даже в случае простейшей квантовомеханической системы – спина электрона – мы не можем обойтись без комплексных чисел. Также как и вероятности, комплексные числа являются неотъемлемой частью квантовой механики. Собственные значения оператора Sy есть тоже числа +1/2 и -1/2.

Хотя матричные элементы и компоненты собственных векторов могут быть комплексными числами, собственные значения эрмитовых операторов всегда являются действительными числами.

Согласно постулату, собственные значения оператора есть возможные результаты измерения физической величины, описываемой данным оператором. То что операторы являются эрмитовыми гарантирует, что мы не получим в результате измерения комплексное число.

Можно убедиться, что вероятности отклонения электрона вверх или вниз по оси y после прохождения прибора Штерна-Герлаха, ориентированного по оси x или по оси z также составляют 50%. При этом не следует забывать о комплексном сопряжении компонент при переходе от кет-векторов к бра-векторам.

Добавить комментарий