Вектор состояния. Амплитуда вероятности.

Седьмая часть серии видео элементарного введения в квантовую механику.

В рамках классической Ньютоновской механики система описывается заданием координат и импульсов всех ее составляющих. Другие свойства являются производными от основных, например, кинетическая энергия. С помощью закона Ньютона мы можем предсказать траекторию движения системы в таком фазовом пространстве. То есть изменение координат и импульсов с течением времени. Например для затухающего маятника это будет спираль.

В квантовой механике система описывается вектором соятояния, который живет в Гильбертовом пространстве. Это более абстрактный объект, чем привычный нам набор физических параметров классических систем.

В данном видео мы рассмотрим математический формализм описания векторов состояния. В последствии мы увидим как эти абстрактные векторы используются для реальных физических расчетов.

Алгебра векторов состояния идентична алгебре рассматриваемых в школьной программе векторов. Но они не имеют геометрической интерпретации в виде направленных отрезков. Несмотря на это для наглядности проведем аналогию с обычными векторами.

Вектор на плоскости можно представить направленным отрезком. Однако нам надо уйти от геометрии и характеризовать его только алгебраически. Это можно сделать задав два числа – декартовы координаты вектора. По аналогии, квантовомеханический вектор состояния, живущий в двумерном пространстве, характеризуется двумя числами – компонентами вектора. Мы запишем их в столбец.

Вектор-столбец называется кет-вектором и обозначается правой скобкой. Это просто общепринятый формализм, введенный одним из отцов-основателей квантовой механики Полом Дираком. Внутри скобок может быть что угодно. Это просто условное обозначение, поясняющее о каком векторе состояния идет речь. Аналогично обозначению обычного вектора стрелочкой над символом.

Сам вектор характеризуется набором чисел (компонентами вектора) в количестве равном размерности пространства в котором живет вектор. В нашем случае два. Эти числа в общем случае комплексные.   Именно поэтому вектор состояния нельзя представить направленным отрезком. Декартовы координаты не могут быть комплексными числами.

Векторы состояния как и обычные векторы на плоскости можно складывать друг с другом и умножать на число, которое также может быть комплексным. В координатных обозначениях эти операции идентичны операциям с обычными векторами. Однако из-за замены действительных чисел комплексными, графическое представление умножения на число как увеличение длины вектора уже не работает. Как и графическое сложение по правилу параллелограмма.

В квантовой механике очень важно понятие базисных векторов. В случае обычных векторов в качестве базисных можно выбрать перпендикулярные друг другу векторы в количестве равном размерности пространства. На плоскости единичные векторы ex и ey можно выбрать в качестве базисных. Тогда любой произвольный вектор можно представить как сумму базисных, умноженных на определенные числа. В случае обычных векторов эти числа не что иное, как декартовы координаты вектора. В случае векторов состояния это компоненты вектора. В компонентных обозначениях операции сложения и умножения идентичны действиям с обычными векторами.

Следует подчеркнуть, что выбор базисных векторов отнюдь не единственен. Числовые значения компонент вектора зависят от выбранного базиса, но сам вектор (как математический объект) при смене базиса остается неизменным. В частности неизменным останется скалярное произведение векторов. Однако нам не подойдет школьная формула скалярного произведения векторов как произведения их длин на косинус угла между ними. Мы не сможем определить угол между векторами состояния, потому что они не имеют геометрического представления. Нам нужно все перевести на язык алгебры.

Векторы (как и матрицы) перемножаются по правилу «строка на столбец». Мы можем перевести столбец в строку посредством рассматриваемой в прошлом видео операции эрмитового сопряжения, обозначаемой крестиком. Тогда скалярное произведение запишется как произведение вектор-строки на вектор-столбец. Заметьте, что мы получили аналог школьной формулы для скалярного произведения как суммы произведений соответствующих декартовых координат векторов. Но поскольку компоненты векторов состояния являются комплексными  числами, из-за эрмитового сопряжения у нас добавилась операция комплексного сопряжения, обозначаемая звездочкой. В случае обычных чисел комплексное сопряжение ничего не делает и мы получим привычную школьную формулу для скалярного произведения.

Эрмитово-сопряженный кет-вектор обозначается левой скобкой и называется бра-вектор. Поскольку эрмитово сопряжение помимо замен столбцов на строки включает еще и комплексное сопряжение, то в разложении вектора по базисным, мы видим комплексно-сопряженные компоненты. Скалярное произведение обозначается совмещением бра- и кет- векторов и называется в квантовой механике амплитуда вероятности по причинам, которые будут ясны в дальнейшем.

Названия предложены Дираком и являются разложением слова брэкет на две части бра- и кет-.

Скалярное произведение интересно во многих отношениях. Скалярное произведение двух векторов дает не вектор, а число (в общем случае комплексное). То есть амплитуда вероятности это комплексное число. Произведение вектора a на b равно комплексному сопряжению произведения b на a.

Заметьте, что даже если компоненты вектора состояния являются комплексными числами, то скалярное произведение вектора с самим собой — это действительное неотрицательное число. Действительно, входящие в формулу произведения комплексных чисел на свои сопряжения это действительные числа — квадраты модулей комплексного числа. Для обычных векторов скалярное произведение вектора с самим собой это квадрат длины вектора.

Еще одно интересное свойство скалярного произведения: Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то для обычных векторов это означает, что они перпендикулярны. В случае векторов состояния говорят, что они ортогональны. Можно, например, убедиться, что базисные векторы ex и ey ортогональны.

И наконец, компонента вектора равна скалярному произведению данного вектора с соответствующим этой компоненте базисным вектором. Для обычных векторов это свойство наглядно поскольку скалярное произведение векторов можно представить как проекцию одного вектора на направление другого. То есть коэффициенты в разложении вектора состояния по базисным векторам являются амплитудами вероятности.