Дельта-функция Дирака

Дельта-функция Дирака сейчас используется во многих областях науки и техники. Но изначально она была введена Дираком именно в контексте квантовой механики.

Дирак использовал дельта-функцию для демонстрации эквивалентности матричного подхода Гейзенберга и волновых функций, введенных Шредингером. Работа Дирака опубликована в 1926г., еще даже задолго до появления его знаменитых обозначений бра- и кет-. В тот же год, что и уравнение Шредингера и всего лишь год спустя самой первой работы Гейзенберга по новой квантовой механике.

В прошлом видео мы начали говорить про представление векторов состояния в координатном базисе. Согласно принципу суперпозиции наиболее общий вектор состояния равен сумме базисных векторов с комплексными коэффициентами.

Мы выяснили, что самому вектору состояния при переходе к непрерывным величинам можно поставить в соответствие волновую функцию. Какие же функции соответствует базисным векторам x0, x1, x2 и т.д.

Мы знаем, что скалярное произведение вектора состояния с базисным вектором дает соответствующую амплитуду вероятности, то есть коэффициент с.

Возьмем для конкретики точку начала координат, х0. Данная амплитуда вероятности по определению соответствует значению волновой функции в начале координат.

Но мы также говорили, что скалярное произведение для функций записывается через интеграл. Обозначим пока функцию, соответствующую базисному вектору x за f.

Что же должна делать эта функция f? Видим, что весь интеграл равен значению волновой функции в начале координат, пси(0) каким бы оно не было. То есть функция f должна вытаскивать из всей функции пси(х) всего одну точку – ее значение в начале координат.

Но такой функции просто не существует в природе. По крайней мере не существовало до того как Дирак сказал – «Давайте придумаем такую функцию. Назовем ее дельта-функция».

По сути данный интеграл и есть определение дельта-функции Дирака. Дельта-функция не является функцией в классическом понимании этого слова, поскольку не определена в отрыве от интеграла.

Математикам она долгое время не нравилась. Но потом они разработали целую теорию так называемых обобщенных функций. Забавно наблюдать как физическая мотивация приводит к появлению целых новых разделов математики.

Итак, дельта-функцию можно представить себе как очень узкий пик, расположенный в начале координат. Дельта-функция везде равна нулю кроме этой одной единственной точки.

Значение дельта-функции в нуле не определено. Можно сказать, что оно равно бесконечности, но это мало что дает. Важнее то, что по-определению площадь под кривой дельта-функции равна единице. Мы имеем узкий пик нулевой толщины, но единичной площади. То есть мы опять возвращаемся к определению через интеграл.

Поскольку в интеграле стоит произведение дельта-функции с волновой функцией, то все точки волновой функции кроме начала координат обнуляются из-за умножения на ноль. Остается только значение волновой функции в нуле. А так как площадь, то есть интеграл от дельта-функции равен единице, при умножении она не влияет на это значение волновой функции в нуле.

Кстати, знак комплексного сопряжения можно убрать поскольку он не влияет на дельта-функцию.

Одной дельта-функции с пиком в нуле достаточно, чтобы описать всю бесконечность координатных базисных векторов.

Так чтобы вытащить значение волновой функции скажем в точке x=2 достаточно использовать в интеграле дельта-функцию с аргументом x-2. Она как раз соответствует базисному кет-вектору |x2>. Тогда пик будет расположен не в начале координат, а сдвинут вправо к точке x=2. Действительно, при подстановке в x числа 2 получим дельта(0), то есть тот самый пик.

В общем случае значение волновой функции в произвольной точке а можно получить как интеграл от произведения с дельта(х-а).

Поскольку дельта-функция не обычная функция с ней надо обращаться осторожно. Например, если просто подставить в нашу суперпозицию дельта функции, то получившееся выражение не будет иметь особого смысла. Формально можно записать выражение для собственных векторов оператора координаты через дельта-функцию.

Может показаться, что дельта-функция вообще слабо связана с реальностью. Действительно, в экспериментах по измерению координаты частицы мы никогда не получим точное значение x. В конечном счете принцип неопределенности Гейзенберга запрещает нам точно знать координату. В противном случае импульс стал бы равен бесконечности. Нам надо затратить бесконечное количество энергии чтобы точно измерить координату. Ну и тому подобные аргументы. На практике мы всегда ограничиваемся малой областью пространства, но не точкой с нулевым размером.

Вообще данная критика относится ко всему математическому анализу, так нелюбимому всеми матану с его производными и интегралами. Вообще почему мы используем производные и интегралы тогда как знаем, что физически делить отрезок до бесконечности нельзя? Мы знаем, что не имеет смысла рассуждать о длинах меньше Планковской длины, а она равна всего лишь 10^-35м, а не 10^—∞.

Казалось бы напрашивается тривиальное решение – давайте введем квант пространства и квант времени. Минимальную длину и отрезок времени. Но такой наивный подход вступает в противоречие со специальной теорией относительности Эйнштейна.

В разных системах отсчета наблюдатели будут видеть разные значения этих длин и интервалов времени. Лоренцево сокращение расстояний позволяет сколь угодно уменьшать длины. Никто не запрещает перейти в систему отсчета где длина будет меньше Планковской. Фактически сколь угодно малой.

Релятивистские эффекты замедления времени также приводят к тому, что квант времени для одного наблюдателя будет казаться миллиардами лет для другого.

В общем, как и всегда – эксперимент является критерием истины. Использование производных, интегралов, дельта функции и тому подобных вещей оправдано поскольку результаты вычислений соответствуют экспериментальным наблюдениям. На большом адронном коллайдере в экспериментах при огромных энергиях не нашли ни единого отклонения от предсказаний стандартной квантовой механики.

Возможно в будущем методы мат анализа и заменят чем-то более подходящим, и поверьте многие гениальные ученые продолжают ломать над этим голову. Но пока все остается как есть.

Удивительно что производная и интеграл остаются актуальными и в современной физике, хотя были изобретены еще самим Ньютоном в 17 веке для задач классической механики.